Supongamos que estamos ajustando los datos covid19 con la función logística,
$$\dot N(t)=rN(t)(1-\frac{N(t)}{K})$$
y conseguir un buen ajuste.
¿Podemos conseguir R0 del valor óptimo de $r$ et $K$ ? En caso afirmativo, ¿cómo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
El modelo SIR es ligeramente diferente y sigue la siguiente ecuación diferencial*:
$$\dot{u}(t) = u(t) \left( C_1 - \gamma \ln u(t)+ x_0 \beta^\prime u(t) \right) $$
donde
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$S(t)$ , $I(t)$ , $R(t)$ son transformaciones de $u(t)$ siguiente:
$$\begin{array}{} S(t) &=& x_0 u\\ I(t) &=& \frac{\gamma}{\beta^\prime} \ln u(t) - x_0 u(t) - \frac{C_1}{\beta^\prime} \\ R(t) &=& - \frac{\gamma}{\beta^\prime} \ln u(t) \end{array}$$
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También es interesante $Q(t) = I(t) + R(t)$ que es el total de personas que enfermaron (ya que el ajuste logístico no diferencia entre infectados y recuperados)
$$Q(t) = - \frac{C_1}{\beta^\prime} - x_0 u(t)$$
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La constante $C_1$ es una constante de integración que puede fijarse en función de la condición de contorno $S(t) + I(t) + R(t) = N$ donde $N$ es el total de personas.
$$C_1 = -\beta^\prime N$$
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La constante $x_0$ es otra condición límite/de partida y se refiere al número inicial de personas recuperadas $R(0)$
$$x_0 = N e^{\frac{\beta\prime}{\gamma}R(0)}$$
Si empezamos con cero personas recuperadas
$$x_0 = N$$
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Hemos introducido el término $\beta^\prime$ porque las ecuaciones diferenciales para el modelo SIR puede escribirse de otra manera con una escala $N$ . El trabajo de Harko, Lobo y Mak no utiliza el escalado con $N$ que hace que la interpretación de $\beta$ diferente. Utilizamos $\beta^\prime$ para el parámetro utilizado en Harko, Lobo y Mak. Podemos transformar como:
$$\beta^\prime = \frac{\beta}{N}$$
Si $R(0) = 0$ y en consecuencia $x_0 = 1$ entonces podemos reescribir esto como:
$$\frac{\dot{S}(t)}{S(t)} = -\beta \left( 1 + \frac{\gamma}{\beta} \ln \frac{S(t)}{N} - \frac{S(t)}{N} \right)$$
o en términos de $Q(t)$
$$\frac{\dot{Q}(t)}{Q(t)} = \beta \left(1 - \frac{Q(t)}{N} - \frac{\gamma}{\beta} \left(1- \frac{N}{ Q(t)}\right) \ln \left(1- \frac{ Q(t)}{N}\right) \right)$$ que se parece un poco a la ecuación del crecimiento logístico (el último término es diferente y se hace cero cuando $\gamma = 0$ )
$$\frac{\dot{Q}(t)}{Q(t)} = r\left(1 - \frac{Q(t)}{K}\right) \hphantom{- \frac{\gamma}{\beta} \left(1- \frac{N}{ Q(t)}\right) \ln \left(1- \frac{ Q(t)}{N}\right) }$$
*Harko, Lobo y Mak 2014 Soluciones analíticas exactas del modelo epidémico Susceptible-Infectado-Recuperado (SIR) y del modelo SIR con tasas de mortalidad y natalidad iguales. https://arxiv.org/abs/1403.2160
Así que se podría ver el crecimiento logístico como un caso especial del modelo SIR con $\gamma = 0$ (sin recuperación) y $R_0 =\infty$ .
Por lo tanto, basándose en ajustes logísticos no se puede derivar el valor de $R_0$ ya que un ajuste logístico es un ajuste SIR con $R_0$ .
Tenga en cuenta que, cuando $Q(t) << N$ entonces tanto para el modelo SIR como para el modelo logístico se obtiene un crecimiento aproximadamente exponencial.
Para el modelo SIR se obtiene $\left(1- \frac{N}{ Q(t)}\right) \ln \left(1- \frac{ Q(t)}{N}\right) \approx 1$ y
$$ \frac{\dot{Q}(t)}{Q(t)} = \beta - \gamma$$
para el modelo de crecimiento logístico se obtiene
$$ \frac{\dot{Q}(t)}{Q(t)} = r $$
Así que los ajustes con un modelo logístico, o cualquier otro que tenga un crecimiento exponencial inicial, a datos en una fase temprana, pueden utilizarse para determinar $\beta - \gamma$ pero no el valor de $R_0 = \frac{\beta}{\gamma}$ que requiere datos durante un periodo más largo.
(Si lo que busca es covid-19, entonces un $R_0$ valor con más datos será erróneo ya que los datos no se refieren a un modelo SIR que es un modelo para mezcla homogénea y parámetros que no cambian en el tiempo)
