Pequeñas categorías completas en un topos de Grothendieck

Question

Es un teorema clásico de Freyd que si una categoría pequeña es completa (tiene todos los límites pequeños; de hecho, basta con tener productos pequeños), entonces es un preorden (tiene como máximo un morfismo entre dos objetos cualesquiera). La prueba de este teorema (que se puede encontrar aquí o en CWM) no es constructiva, es decir, utiliza la Ley del Medio Excluido. Por lo tanto, puede fallar potencialmente en la lógica interna de un topos elemental. Y de hecho hace fallan en el topos efectivo, y más en general en los topoi de realizabilidad, donde sí existen pequeñas categorías completas que no son preórdenes.

Sin embargo, he oído decir que el teorema de Freyd no puede fallar en un Grothendieck es decir, que una pequeña categoría completa en un topos de Grothendieck debe seguir siendo un preorden, a pesar de que la lógica interna siga siendo en general intuicionista, de modo que la prueba de Freyd no puede funcionar. ¿Puede alguien explicar por qué es así, o (mejor aún) dar una referencia que contenga una prueba?

Answer 1

Hola. Ya comenté que había pensado en esto en nForum hace un tiempo - siento no haberte contestado antes. El siguiente esbozo de una prueba se debe principalmente a Colin McLarty.

Dos características que distinguen un topos de Grothendieck de un topos más general son

1. Que tiene un morfismo geométrico a Conjuntos, concretamente el functor de secciones globales.

2. Que tiene un objeto de generadores (es decir, existe un objeto G tal que si $f,g: A \to B$ no son iguales entonces existe una flecha $h: G \to A$ con $fh \neq gh$ )

Sea $C$ sea un objeto de categoría completa pequeña en un topos de Grothendieck $T$ que no es un pedido anticipado. Entonces $C^G$ es también una pequeña categoría completa en este topos esencialmente porque los exponenciales conmutan. El functor de secciones globales aplicado a $C^G$ da una categoría completa pequeña en la categoría de conjuntos que no es un preorden (la propiedad de ser una categoría completa pequeña es preservada por morfismos geométricos, y la propiedad especial de G permite que la propiedad de ser "no un preorden" se mantenga), lo cual es una contradicción.

Es un poco más fácil pensar en el caso de gavillas sobre algún espacio topológico. Allí un objeto de categoría completa pequeña que no es un preorden tendría que dejar de ser un preorden en algún conjunto abierto, y las secciones en ese conjunto abierto serían una categoría completa pequeña que no es un preorden. $G$ sustituye al conjunto abierto anterior.

Si tiene alguna pregunta al respecto, hágamelo saber. En particular, puedo escribir todas las adjunciones que muestran diversas propiedades se conservan, pero no quiero llegar demasiado meticuloso si no es útil para usted.

Un cordial saludo, Steven Gubkin