Distribución simétrica de una variable aleatoria

Question

Demuéstralo: Sea $X$ y $Y$ sean variables aleatorias con la misma distribución. Si $X$ y $Y$ toman sólo dos valores, entonces $X - Y$ se distribuyen simétricamente alrededor de cero.

Nota: 1 - Puede utilizar la función característica;

2 - Ser simétrico significa $F_{X}(x)=F_{-X}(x)$ .

  3 - Nothing is talked about X and Y are independent!

  4 - Exercise 6, letter b, page 257 of the book Probability of Barry James.

Answer 1

Sin pérdida de generalidad, supongamos que $X$ y $Y$ son Bernoulli variables aleatorias con el mismo parámetro $p = P\{X=1\} = P\{Y=1\}$ . Así, $X-Y$ adquiere valores $-1, 0, 1$ . Entonces, tenemos que $$\begin{align} P\{X=1\} = p &= P\{X=1, Y=1\} + P\{X=1, Y=0\}\tag{1}\\ P\{Y=1\} = p &= P\{X=1, Y=1\} + P\{X=0, Y=1\}\tag{2}. \end{align}$$ En $(1)$ y $(2)$ vemos que

$P\{X=1, Y=0\} = P\{X-Y = 1\}$ es igual a $P\{X=0, Y=1\} = P\{X-Y=-1\}$ .

Answer 2

$$ (X,Y) = \begin{cases} (a,a) & \text{with probability }p, \\ (a,b) & \text{with probability }q, \\ (b,a) & \text{with probability }r, \\ (b,b) & \text{with probability }s. \end{cases} $$ $$ p+q=\Pr(X=a)=\Pr(Y=a)=p+r\text{; therefore }q=r. $$ Por lo tanto $$ X-Y =\begin{cases} 0 & \text{with probability }p+s, \\ a-b & \text{with probability }q, \\ b-a & \text{with probability }r. \end{cases} $$ Ahora utiliza el hecho de que $q=r$ .

(De momento no conozco una forma más sencilla que utilice funciones características, así que no las utilizaría aquí).

Answer 3

Prueba $\phi_{X-Y}(t) \in \mathbb{R}$