Mi pregunta es cómo se debe pensar en las funciones L p-ádicas. Sé que han sido construidas clásicamente interpolando valores de funciones L complejas. Recientemente he visto a gente pensar en ellas en términos de sistemas de Euler. Pero solo conocemos unos pocos sistemas de Euler y hay muchas funciones L p-ádicas. En el caso de las curvas elípticas (al menos sobre $\mathbb{Q}$) las funciones L complejas dan información sobre las representaciones de Galois. ¿Debería la función L p-ádica dar alguna información sobre alguna representación de Galois p-ádica? Parece ser el caso en el caso de los campos ciclótomos donde pensamos en el carácter ciclótomo como una representación 1-dimensional. Pido disculpas de antemano si mis preguntas son vagas. Apenas estoy empezando a aprender sobre el tema.
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Hay tres formas de obtener funciones L p-ádicas. El gran sueño es que uno pueda hacer todas ellas para una gran clase de representaciones de Galois p-ádicas V. Para estudiarlas, es mejor comenzar mirando los casos $\mathbb{Q}(1)$ para las funciones L p-ádicas p-ádicas clásicas de Kubota-Leopoldt o el módulo-Tate de una curva elíptica, etc.
Sea $K_{\infty}=\mathbb{Q}(\mu_{p^{\infty}})$ la unión de todos los campos ciclotómicos de raíces de la unidad de orden p-potencia. Sea G su grupo de Galois, que es isomorfo a $\mathbb{Z}_p^{\times}$.
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Adjunta a $V$ hay una función L compleja y hay conjeturas que dicen que ciertos valores son algebraicos y satisfacen ciertas congruencias módulo potencias de p, por ejemplo, congruencias de Kummer. Así que en algunos casos, se puede demostrar la algebraicidad y las congruencias. Así que los valores encajan para formar una función analítica p-ádica. Pero la mejor forma de presentar la función L p-ádica es construyendo una medida en el grupo de Galois G con valores en $\mathbb{C}_p$. Luego se puede evaluar la función L p-ádica en los caracteres del grupo G. De esta manera, la función L p-ádica se asemeja mucho a su homólogo complejo tal como se describen en la tesis de Tate. Véase Campos Ciclotómicos de Lang o Washington o Mazur-Tate-Teitelbaum, por ejemplo.
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En el lado algebraico, tenemos un grupo de Selmer o un grupo de clases que observamos crecer en la torre $K_{\infty}/\mathbb{Q}$. La serie característica del dual de este grupo de Selmer como un módulo-$\Lambda$ es una especie de función generatriz para este crecimiento. Al igual que las funciones zeta para variedades sobre campos finitos. Estas series características son, de hecho, series de potencias, pero están definidas hasta una unidad (pues son generadores de algún ideal). El papel de Greenberg brinda una buena introducción a este lado.
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El sistema de Euler (si tenemos suerte de estar en uno de los pocos casos en los que lo tenemos) es un sistema de clases de cohomología compatibles con la norma. En particular, dan un elemento en $H^1(K_n, V)$ para cada campo intermedio $K_n$. Pero debería haber un elemento sobre extensiones abelianas suficientemente numerosas. La norma de compatibilidad involucra un factor que se asemeja a un factor de Euler de la función L compleja. Existe un mapa general, llamado el mapa de Coleman o el logaritmo ampliado o como se quiera, del límite inverso de los $H^1(K_{n,p}, V)$ a un anillo de series de potencias. La imagen del sistema de Euler bajo este mapa debería ser la función L p-ádica definida analíticamente. Típicamente se muestra que satisfacen la misma propiedad de interpolación.
En cierto sentido, el sistema de Euler es el puente entre el mundo analítico y el algebraico. Bajo el mapa de Coleman se vincula al lado analítico. En la otra dirección, se pueden formar clases derivadas a partir de las clases de cohomología. Estas clases derivadas pueden analizarse localmente y pueden usarse para acotar el grupo de Selmer y, por lo tanto, la serie característica. Así es como se puede demostrar la conjetura principal en algunos casos en una dirección. Probablemente, un buen lugar para empezar sea Coates-Sujatha.
Se conjectura que la función L p-ádica de una curva elíptica satisface una fórmula p-ádica de Birch y Swinnerton-Dyer. (Mazur-Tate-Teitelbaum y Bernardi-Perrin-Riou en el caso sobre singular). Por otro lado, en el lado algebraico, sabemos casi que la serie característica satisface esta fórmula. Se sabe que el orden de anulación es al menos tan grande como el rango y si coinciden, entonces el término principal tiene la forma deseada que involucra al grupo de Tate-Shafarevich; por supuesto, solo hasta una unidad p-ádica.
En el caso geométrico, digamos una curva elíptica sobre un cuerpo de funciones K de una curva sobre un campo finito k, la función compleja y la función p-ádica son iguales (p≠char(k)), ya que son simplemente un polinomio con coeficientes enteros. La charla de Bourbaki de Tate sobre BSD muestra cómo se puede usar la torre $K_{\infty} = \bar{k} \cdot K$ para probar mucho sobre BSD. La teoría de Iwasawa intenta imitar esto.
Así que creo que las funciones L p-ádicas son tan agradables e interesantes como sus homólogos complejos. Incluso si parecen más misteriosas y la definición es menos directa, a veces sabemos más sobre ellas. Ahora paro, de lo contrario voy a escribir un libro aquí...
Es una pregunta sensata, por esta razón: las funciones L (clásicas, complejas) están definidas de tal manera que puedes escribirlas, como series de Dirichlet, al menos en la mitad derecha de un plano. ¿Qué corresponde a las funciones L p-ádicas? Básicamente no hay nada que coincida. Puedes asistir a muchas conferencias sobre funciones L p-ádicas sin ver nada que merezca el nombre "función", en el sentido de la teoría de funciones.
¿Qué subyace detrás de esto? No es que los números p-ádicos sean menos "explícitos" que los números complejos en absoluto. Es una razón bastante diferente: el significado modular de una función L p-ádica la define hasta unidad en un determinado anillo, con la implicación de que estas funciones son esencialmente polinomios. Y a través de los módulos es que la teoría de Iwasawa gana impulso en la teoría de números.
