¿Cómo puedo calcular el radio de una hiperesfera de n dimensiones que toca n vectores y el origen?

Question

Supongamos que tengo $n$ vectores $\vec x_1,\vec x_2, ..., \vec x_n$ cada una de las cuales es n-dimensional. ¿Cuál sería el radio de la hiperesfera que circunscribe todos los vectores (así como el origen)?

Inicialmente había intentado resolver esto usando la lógica de que, supongamos que definimos un radio vector $\vec r$ entonces todos los vectores deben satisfacer la propiedad $||\vec r|| =||\vec x_i - \vec r||$ (ya que ambos $\vec r$ y $\vec x_i - \vec r$ son radios de la hiperesfera. Véase mi tosco diagrama para justificarlo).

$\implies r^Tr=(x_i-r)^T(x_i-r)$

$\implies r^Tr=(x_i^Tx_i) +(r^Tr)-2 \cdot(r^Tx._i) $

$\implies 2\cdot r^Tx_i=x_i^Tx_i$

Esto me da n ecuaciones y n incógnitas como elementos de $\vec r$ pero no da una fórmula matemática general para resolver $||\vec r||$

Edición: ¿Podríamos tener una solución para la hiperesfera n-dimensional en n+1-dimensiones, dado n vectores que pertenecen a un hiperplano?

Answer 1

La ecuación de la hiperesfera es

$$ (x - x_0)^T (x- x_0) = R^2 $$

donde $x_0$ es el centro y $x$ puede ser $x_1, x_2, ..., x_n$ así como el origen $\mathbf{0}$ .

Así que tenemos

$ (x_1 - x_0)^T (x_1 - x_0) = R^2 $

$(x_2 - x_0)^T (x_2 - x_0) = R^2 $

$\vdots$

$ (x_n - x_0)^T (x_n - x_0) = R^2 $

y, por último, sustituyendo $x = \mathbf{0}$ ,

$ R^2 = x_0^T x_0 $

Substracción de la $i$ -ésima ecuación a partir de la primera ecuación,

$ - 2 (x_1 - x_i)^T x_0 = x_i^T x_i - x_1^T x_1 $ , $i = 2, 3, ...., n $

Y la última ecuación es

$ - 2 (x_1)^T x_0 = - x_1^T x_1 $

Resolviendo este sistema de ecuaciones, podemos determinar el centro $x_0$ entonces

utilizando $R^2 = x_0^T x_0 $ encontramos $R$ .