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¿Cómo puedo calcular el radio de una hiperesfera de n dimensiones que toca n vectores y el origen?

Supongamos que tengo n vectores x1,x2,...,xn cada una de las cuales es n-dimensional. ¿Cuál sería el radio de la hiperesfera que circunscribe todos los vectores (así como el origen)?

Inicialmente había intentado resolver esto usando la lógica de que, supongamos que definimos un radio vector r entonces todos los vectores deben satisfacer la propiedad ||r||=||xir|| (ya que ambos r y xir son radios de la hiperesfera. Véase mi tosco diagrama para justificarlo).

norm(r) equals norm(x-r)

rTr=(xir)T(xir)

rTr=(xTixi)+(rTr)2(rTx.i)

2rTxi=xTixi

Esto me da n ecuaciones y n incógnitas como elementos de r pero no da una fórmula matemática general para resolver ||r||

Edición: ¿Podríamos tener una solución para la hiperesfera n-dimensional en n+1-dimensiones, dado n vectores que pertenecen a un hiperplano?

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GeometryLover Puntos 411

La ecuación de la hiperesfera es

(xx0)T(xx0)=R2

donde x0 es el centro y x puede ser x1,x2,...,xn así como el origen 0 .

Así que tenemos

(x1x0)T(x1x0)=R2

(x2x0)T(x2x0)=R2

(xnx0)T(xnx0)=R2

y, por último, sustituyendo x=0 ,

R2=xT0x0

Substracción de la i -ésima ecuación a partir de la primera ecuación,

2(x1xi)Tx0=xTixixT1x1 , i=2,3,....,n

Y la última ecuación es

2(x1)Tx0=xT1x1

Resolviendo este sistema de ecuaciones, podemos determinar el centro x0 entonces

utilizando R2=xT0x0 encontramos R .

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