La evaluación de $\int_0^{\infty} {\frac{\sin{x}\sin{2x}\sin{3x}\cdots\sin{nx}\sin{n^2x}}{x^{n+1}}}\ dx$

Question

Cómo calcular

$$ \int_{0}^{\infty}{\sin\left(x\right)\sin\left(2x\right)\sin\left(3x\right)\ldots \sin\left(nx\right)\sin\left(n^{2}x\right) \sobre x^{n + 1}}\,\mathrm{d}x $$

Creo que debemos utilizar la integral de Dirichlet

$$ \int_{0}^{\infty}{\sin\left(x\right) \sobre x}\,\mathrm{d}x = {\pi \over 2} $$

pero, ¿cómo dividir la ecuación ?.

Answer 1

Tenemos (teorema $2$ parte $(ii)$, la página 6) que:

Si $a_{0},\dots,a_{n} $ are real and $a_{0}\geq\sum_{k=1}^{n}\left|a_{k}\right|$, then $$\int_{0}^{\infty}\prod_{k=0}^{n}\frac{\sin\left(a_{k}x\right)}{x}dx=\frac{\pi}{2}\prod_{k=1}^{n}a_{k}.$$

Por lo que es suficiente tener en cuenta que si tomamos $a_{0}=n^{2},\, a_{k}=k,\, k=1,\dots,n $ we have $$a_{0}=n^{2}\geq\frac{n\left(n+1\right)}{2}=\sum_{k=1}^{n}a_{k} $$ por lo tanto

$$\int_{0}^{\infty}\frac{\sin\left(n^{2}x\right)}{x}\prod_{k=1}^{n}\frac{\sin\left(kx\right)}{x}dx=\frac{\pi n!}{2}.$$

Answer 2

Si sabes la respuesta se puede verificar con mi respuesta

$$\frac12[\pi(n^2 n!)-\frac{\pi}{2^n(n+1)!}((1+2+..+n+n^2)-2)^2]$$

Si usted piensa que no es correcta, a continuación, comprobar la reducción de los términos