$f:X\to X$ tiene órbita finita?

Question

Sea $f:X\to X$ sea un homeomorfismo sobre un espacio métrico compacto $(X, d)$ con dos propiedades siguientes:

1) Todo conjunto mínimo de $X$ es un punto fijo, es decir, si $K\subseteq X$ es una $f$ -con $\overline{O_f(a)}=K$ para todos $a\in K$ entonces $K=\{p\}$ .

2) $f$ tiene punto fijo finito.

Se sabe que cada $f$ -conjunto invariante $A$ contiene un conjunto mínimo, por lo que creo que (1) implica que $\omega_f(x)=\{p\}$ . Toma $\omega_f(B)=\bigcup_{b\in B}\omega_f(b)$ , creo que por (2), tenemos $\omega_f(B)$ es un conjunto finito.

¿Qué puede decir sobre $f:X\to X$ . ¿Podemos decir que $X$ es contable o $f$ tiene órbita finita? ¿Podría usted por favor su idea acerca de ellos.

Answer 1

La respuesta que buscas es si una cobertura vitali tiene una recursividad iterativa.

$$ \lim_{k \rightarrow \infty}| f_{k+1} - f_{k} | = L_{i} $$

$$ | p_{j+1} - p_{j} | = L_{j} $$

Entonces como iteración de cualquier combinación de la forma normal $ || f_{k}(p_{j}) || $

$$ \omega_{f}(p) = h(L_{i}, L_{j}) = L_{k} $$

debe formar una relación de recursión, es decir, ser una aproximación o expansión de:

$$ L_{k+1} = k(L) $$

Esta órbita será finita cuando $ k(L) \leqslant \omega_{f}(p) $