Pregunta simple de combinatoria

Question

Sea $n_{1},n_{2},\ldots,n_{m}$ sea un número finito de enteros positivos. Sea $n=\sum_{i=1}^{m}n_{i}$ . Sea $k$ sea un número entero positivo tal que $1\leq k\leq m$ .

Sea $n_{i}$ sea el número de objetos idénticos de tipo $i$ , $i=1,2\ldots m$ .

Los objetos de tip $n_{i}$ y $n_{j}$ son distintos para todos los $i$ y $j$ .

¿De cuántas maneras puedo escoger distintas colecciones de $k$ objetos, con respecto al orden, del totalt $n$ ¿Objetos?

Answer 1

La solución más sencilla utiliza funciones generadoras . Suponiendo que contemos pedido secuencias de $k$ (por ejemplo, si $k=3$ los resultados ABB y BAB son distintos), entonces la respuesta es el coeficiente de $x^k/k!$ en el producto $$\left(1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots +\frac{x^{n_1}}{n_1!}\right) \left(1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+ \frac{x^{n_2}}{n_2!}\right)\cdots \left(1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+ \frac{x^{n_m}}{n_m!}\right) $$

Por otro lado, si quisieras contar desordenado secuencias de $k$ objetos (de modo que ABB y BAB representen el mismo resultado), la respuesta es el coeficiente de $x^k$ en el producto $$\begin{eqnarray} &(1+x+x^2+\cdots x^{n_1}) (1+x+x^2+\cdots x^{n_2})\cdots(1+x+x^2+\cdots x^{n_m})\\ =&\frac{(1-x^{n_1+1})(1-x^{n_2+1})\cdots(1-x^{n_m+1})}{(1-x)^m}. \end{eqnarray} $$