Integral logarítmica (función verde)

Question

Estoy utilizando una función de Green para encontrar la solución de una EDO y me he atascado en encontrar la solución de la siguiente integral. ¿Podría alguien ayudarme?

La integral es

$$\int_{0}^{r} d r^{'} \int_{0}^{2 \pi} \ln\Biggl(\frac{C}{\sqrt{(x-r^{'} \cos{\theta^{'}})^2+(y-r^{'} \sin{\theta^{'}} )^2}} \Biggr)\, d \theta^{'}$$

y $C$ es una constante positiva.

Answer 1

Podemos reescribir $\ln\Biggl(\frac{C}{\sqrt{(x-r^{'} \cos{\theta^{'}})^2+(y-r^{'} \sin{\theta^{'}} )^2}} \Biggr)=\ln{C}-\frac{1}{2}\ln\left((x-r^{'} \cos{\theta^{'}})^2+(y-r^{'} \sin{\theta^{'}} )^2 \right)=$$ \ln{C}-\frac{1}{2}\ln\left(x^2+y^2+r'^2-2xr'cos\theta-2yr'\sin\theta\right)$

Si introducimos el vector $\vec{a}=(x,y)$ entonces $xr'cos\theta+yr'\sin\theta=(\vec{a},\vec{r'})$ en alguna elección de la dirección de $\vec{r'}$ .

Porque integramos más de $\vec{r'}$ nos corresponde a nosotros elegir el sistema de coordenadas - el resultado final no dependerá de esta elección. Podemos orientar el eje $X$ a lo largo del vector $\vec{a}$ . En esta elección la integral del logaritmo pasa a ser (exacta a factores constantes) $\int_{0}^{r} d r^{'} \int_{0}^{2 \pi} \ln\Biggl(\frac{1}{\sqrt{(x-r^{'} \cos{\theta^{'}})^2+(y-r^{'} \sin{\theta^{'}} )^2}} \Biggr)\, d \theta^{'}\sim{I}(a)=\int_0^{2\pi}d\phi\int_0^{r}dr\ln(a^2+r'^2-2ar'\cos\phi)$ donde $a=\sqrt{x^2+y^2}$

Ahora tenemos que considerar dos casos:

1. $r<a$

$I(a)=\int_0^{2\pi}d\phi\int_0^{r}dr'\ln\left((a-r'e^{i\phi})(a-r'e^{-i\phi})\right)=$$ \int_0^{2\pi}d\phi\int_0^{r}dr'\left(2\ln{a}+\ln(1-\frac{r'}{a}e^{i\phi})+\ln(1-\frac{r'}{a}e^{-i\phi})\right)$

Pero $\ln(1-\frac{r'}{a}e^{i\phi})=-\frac{r'}{a}e^{i\phi}-\frac{r'^2}{a^2}e^{2i\phi}-...$ y todos estos términos desaparecen tras la integración sobre $\phi$ .

$$I(a)=4\pi{r}\ln{a}$$

2. $r>a$

En este caso tenemos que dividir la integral en dos partes: $I(a)=\int_0^a+\int_a^{r}$

$\int_0^a=4\pi{a}\ln{a}$ (el mismo cálculo que en el caso 1.)

$\int_a^{r}=\int_0^{2\pi}d\phi\int_a^{r}dr'\ln(a^2+r'^2-2ar'\cos\phi)=\int_0^{2\pi}d\phi\int_a^{r}dr'\ln\left((r'-ae^{i\phi})(r'-ae^{-i\phi})\right)=$$ \int_0^{2\pi}d\phi\int_a^{r}dr'\left(2\ln{r'}+\ln(1-\frac{a}{r'}e^{i\phi})+\ln(1-\frac{a}{r'}e^{-i\phi})\right)$

Los dos últimos términos desaparecen y obtenemos $2\pi\int_a^{r}dr'{2\ln{r'}}=4\pi(r\ln{r}-r-a\ln{a}+a)$

$$I(a)=4\pi(r\ln{r}-r+a)$$