Encontrar todas las soluciones en números enteros positivos de $3^n=x^k +y^k$ donde $\gcd(x,y)=1$ y $k \ge 2$ .

Question

Encontrar todas las soluciones en números enteros positivos de $3^n=x^k +y^k$ donde $\gcd(x,y)=1$ y $k \ge 2$ .

En primer lugar, si $k$ es par, entonces como $k=2t$ para $t \in \Bbb Z$ y así $x^k=(x^t)^2$ y $y^k=(y^t)^2$ . Ambos son cuadrados perfectos y como $3^n \mid x^k +y^k$ tenemos que $3 \mid x^k +y^k \implies 3 \mid(x^t)^2+(y^t)^2$ pero si $3 \mid a^2 +b^2$ entonces $3 \mid a$ y $3 \mid b$ así que $3 \mid x$ y $3 \mid y$ lo que implica que el $\gcd(x,y) \ne 1$ lo cual es una contradicción.

Así pues, podemos concluir que $k$ es impar. Ahora para impar $k$ y prime $p$ dividiendo $x+y$ tenemos que $$v_p(3^n)=v_p(x^k+y^k)=v_p(x+y)+v_p(k)$$ sin embargo como $p \mid x+y$ tenemos que $1=v_p(p) \le v_p(x+y)$ así $$v_p(3^n) \ge1>0$$ así que $p \mid 3 \implies p=3$ .

Entonces tenemos que $$v_3(3^n)=n = v_3(x+y)+v_3(k)$$ lo que implica que $$3^n=3^{v_3(x+y)}\cdot 3^{v_3(k)} = x^k+y^k.$$

No pude avanzar más a partir de aquí, pero la solución que leí decía que $$x^k+y^k = 3^{v_3(x+y)}\cdot 3^{v_3(k)} = \color{red}{(x+y)k}$$ y no tengo ni idea de donde viene el rhs de la igualdad?

Editar Creo que uno tiene que de $n = v_3(3^n)=v_3(x+y)+v_3(k)$ obtenemos $$3^n=3^{v_3(x+y)}\cdot 3^{v_3(k)} = x^k+y^k=(x+y)(x^{k-1}-x^{k-2}y+ \dots + y^{k-1})$$ así que $$3^{v_3(x+y)}=x+y, 3^{v_3(k)}=x^{k-1}-x^{k-2}y+ \dots + y^{k-1}$$ o viceversa.

Answer 1

EDITAR: Parece que leí demasiado rápido y el OP no pedía una solución, sino una explicación de una solución ya dada. No obstante, creo que mi solución es bastante ordenada y limpia, así que la dejaré arriba.

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Como has demostrado, $k$ debe ser impar. Sea $p\mid k$ sea primo, entonces $$\frac{x^k+y^k}{x^p+y^p}=\frac{x^k-(-y)^k}{x^p-(-y)^p}\in\mathbb{Z}.$$ Por lo tanto, $x^p+y^p$ también debe ser una potencia de tres. Escribe $$3^m=x^p+y^p$$ Ahora, tenga en cuenta que $y$ es invertible módulo $3^m$ Así que $$(x/y)^p\equiv -1\pmod {3^m}.$$ Ahora, $(\mathbb{Z}/3^m\mathbb{Z})^\times$ es cíclico de orden $2\cdot 3^{m-1}$ y $p$ es impar. Así que si $p\neq 3$ debemos tener $x/y\equiv -1\pmod {3^m}$ y $$x^p+y^p=3^m\mid x+y,$$ de donde $x+y\ge x^p+y^p$ . De ello se deduce que $x=y=1$ pero esto no da una solución. Concluimos que $p=3$ y $$3^m=x^3+y^3.$$ Tenga en cuenta que $x+y\mid x^3+y^3$ por lo que existe algún número entero positivo $\ell$ satisfaciendo $$3^\ell=x+y\quad\text{and}\quad 3^{m-\ell}=\frac{x^3+y^3}{x+y}=x^2-xy+y^2.$$ Esto implica que $$3^{m-\ell}=(x+y)^2-3xy=3^{2\ell}-3xy\equiv 3\pmod 9,$$ así que $m-\ell=1$ y $3=x^2-xy+y^2\ge 2xy-xy=xy$ . Desde $3\nmid xy$ esto sólo da las opciones $$(x,y)=(1,1),\quad (x,y)=(2,1),\quad (x,y)=(1,2).$$ De hecho, encontramos que estas dos últimas son soluciones.