He encontrado un término "número de bobinado de campo vectorial con respecto a otro campo vectorial" en un documento sin definición. Porque el artículo que estoy leyendo habla de la superficie, así que no sé si puedo usar la definición de número sinuoso del campo vectorial como en el caso del plano. Y para el caso de la superficie, ¿por qué tenemos que añadir otro campo vectorial para el respeto? ¡Gracias por cualquier ayuda!
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bat
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Piensa primero en el enrollamiento de un campo vectorial $v$ en el avión. Para definirlo, se toma $v/ |v|$ y mira lo que esto hace como un mapa al círculo. Al hacer esto, estás identificando en secreto un campo vectorial en el plano que no serpentea en absoluto (por ejemplo, para el que el mapa a $S^1$ es constante). En el caso del plano, se trata simplemente de un campo vectorial constante, que es una noción bien definida.
Supongamos ahora que tenemos dos campos vectoriales sobre una superficie $\Sigma$ Llámalos $v_1$ y $v_2$ . Supongamos que los dos campos vectoriales desaparecen en el mismo conjunto de puntos. Entonces, podemos escribir $v_1 = A v_2$ donde en cada punto $z\in \Sigma$ , $A(z)$ es un mapa lineal de $T_z \Sigma \to T_z\Sigma$ y tiene determinante positivo en una base orientada (su existencia y no-degeneración utilizan la suposición de que los dos campos vectoriales desaparecen juntos). Ahora, mediante una descomposición polar, se puede escribir como una matriz definida positiva multiplicada por una matriz compleja unitaria, es decir, por una matriz de rotación. Podemos identificar las matrices de rotación con $S^1$ y obtendrá el mapa que buscaba.
He aquí una ilustración de por qué queremos un campo vectorial de referencia. Consideremos que la superficie es el anillo en el plano complejo con coordenadas $z = x+iy$ dada por $1/2 \le |z| \le 2$ . Ahora observa el campo vectorial radial $x\partial_x + y \partial_y$ . Si nos fijamos en el número de enrollamiento de esto con respecto al campo vectorial $\partial_x$ se obtiene $1$ (tal vez $-1$ , no he comprobado el cartel). Si, por el contrario, cambias a coordenadas polares, tu anillo se parece a unos $I \times S^1$ para $I$ un intervalo, con coordenadas $s+it$ con $t$ una variable angular en $S^1$ . Entonces, es natural tomar un campo vectorial de referencia por $\partial_t$ . Es un ejercicio fácil comprobar que mi campo vectorial es múltiplo de $\partial_s$ y, por tanto, tiene un número sinuoso $0$ con respecto a este campo vectorial.
Otra forma de decir lo que estoy diciendo: en una superficie orientada, un campo vectorial no evanescente da una trivialización del haz tangente, ya que el haz tangente es un haz de líneas complejas. El campo vectorial de referencia es sólo una elección de trivialización.
En lo que he dicho, hay que tener cierto cuidado cuando el campo vectorial de referencia desaparece. En ese caso, creo que conviene recortar una pequeña vecindad del cero del campo vectorial de referencia, y estudiar el número de enrollamiento como se ha indicado anteriormente en el complemento. A continuación, probablemente quieras observar el índice de estos campos vectoriales en ese punto. No he pensado lo suficiente en este aspecto.
