Consecuencia semántica

Question

Estoy estudiando árboles de refutación en informática II, pero tengo una gran duda:

Sea $\Gamma, \Psi \subseteq F_m$

¿Es cierta la siguiente hipótesis?

$\Gamma \vDash \Psi \iff \not\vDash\{\Gamma,\lnot \Psi\} \iff \vDash (\Gamma\rightarrow \Psi) \iff \not \vDash \lnot(\Gamma \rightarrow \Psi)$

es decir:

Sea $A, B, C \subseteq F_m$ tal que $\{A\rightarrow B, \lnot B \rightarrow\lnot C\} \vDash A \rightarrow C$

Entonces, para probar esto puedo aplicar:

$\{A\rightarrow B, \lnot B \rightarrow \lnot C, \lnot (A \rightarrow C)\}$ es insatisfactible $\implies \not \vDash ((A\rightarrow B) \land (\lnot B \rightarrow \lnot C) \land \lnot ( A \rightarrow C ) )$

O puedo usar:

$\not \vDash \lnot (((A\rightarrow B) \land (\lnot B \rightarrow \lnot C)) \rightarrow (A \rightarrow C))$

Entonces, ¿esto es cierto?

Gracias.

Answer 1

Sobre su pregunta, es correcto decir que, según la definición de consecuencia lógica para demostrar que :

${A→B,¬B→¬C} \vDash A→C$ ,

tenemos que demostrar que :

$\{ A→B, ¬B→¬C, ¬(A→C) \}$ es insatisfactible .

Tenemos que :

$\varphi$ es insatisfactible si $\lnot \varphi$ es (universalmente) válido .

Nota . Cuando $\varphi$ es válido escribimos : $\vDash \varphi$ .

Un conjunto $\Gamma$ de fórmulas es insatisfactible si existe no valoración que "hace verdad" simultáneamente todos fórmulas en $\Gamma$ .

Si $\Gamma$ es un finito conjunto de ( $n$ ), este importe asciende a insatisfacción de la conjunción de las fórmulas $\gamma_i \in \Gamma$ , $i \le n$ .

Así, $\Gamma$ finito es insatisfactible si $\lnot (\gamma_1 \land ... \land \gamma_n)$ es válido .

En conclusión, $\{ A→B, ¬B→¬C, ¬(A→C) \}$ es insatisfactible si :

$\vDash \lnot ((A→B)∧(¬B→¬C)∧¬(A→C))$ .