Dado un conjunto medible de Lebesgue I ⊂ R tal que m(I) = π, existe un subconjunto A ⊂ I tal que m(A) = e (número de euler).

Question

Problema: Tengo que resolver este problema sobre la medida de Lebesgue, donde dado un conjunto medible de Lebesgue I R tal que m(I) = , necesito demostrar que existe un subconjunto A I tal que m(A) = e (número de euler).

Mi idea: he estado pensando en ello, y he pensado que tal vez esos números sólo están ahí para distraerte del verdadero problema. Supuse que tal vez, dado cualquier conjunto I R de modo que m(I) = a, para cada 0ba, debería haber un subconjunto medible de Lebesgue A I de modo que m(A) = b. Creo que tiene sentido, pero es sólo una idea, y no sé cómo demostrarlo o incluso si estoy en lo cierto. Cualquier ayuda será muy apreciada, gracias.

Answer 1

Supongamos que $0<a<b$ y $m(I)=b.$

Sea $F(x) = m(I\cap(-\infty, x]). $

A ver si puedes demostrar que $F$ es continua y $F(x)\to0$ como $x\to-\infty$ y $F(x)\to a$ como $x\to+\infty.$

A continuación, aplica el teorema del valor intermedio.

Answer 2

Utilizar la continuidad de la función $f(x)=m(I \cap (-\infty,x])$ y el teorema del valor intermedio