Cuáles son los ceros de $\cos z$ ?

Question

Mi intento $:$

Sé que $\cos z = \frac {e^{iz} + e^{-iz}} {2}$ . Así que $\cos z = 0$ sólo si $e^{2iz} = -1$ . Sea $z = x + iy$ . Entonces tenemos $e^{-2y + i 2x} = -1$ es decir $e^{-2y} \cos 2x = -1$ y $e^{-2y} \sin 2x = 0$ . $\implies$ $y = 0$ y $x = \frac {(2n - 1) \pi} {2}$ , $n \in \mathbb N$ . Por lo tanto, las soluciones vienen dadas por $z = \frac {(2n - 1) \pi} {2}$ , $n \in \mathbb N$ que son precisamente las soluciones de $\cos x = 0$ cuando $x \in \mathbb R$ .

¿Es correcto? Por favor, compruébelo.

Gracias de antemano.

Answer 1

Sí, pero para mí es algo circular (ya que hay que conocer los ceros de $\sin z$ ).

Tal vez una forma mejor (ya que no implica determinar $x$ y $y$ por separado) es utilizar la periodicidad de la exponencial (tiene periodo $2\pi i$ ). Puesto que usted sabe que $e^{\pi i}=-1$ y puesto que $e^r=e^s$ sólo si $r-s$ es un múltiplo integral del período, se puede escribir $$e^{2iz} = -1$$ $$e^{2iz} = e^{\pi i}$$ así que $$2iz-\pi i = 2\pi i k$$ $$2iz = (2k+1)\pi i$$ $$z = (2k+1)\frac{\pi}{2}$$ para algún número entero $k$

Answer 2

Sí, está bien, aunque quieres todos enteros. Una forma más natural es mediante la bonita identidad $$ \lvert \cos{(x+iy)} \rvert^2 = \cos^2{x} + \sinh^2{y}, $$ lo que es fácil de demostrar con algunas identidades trigonométricas. Entonces el resultado es obvio, ya que $\sinh{y} \neq 0$ si $y \neq 0$ de verdad $y$ .

Answer 3

Bueno, es casi correcto : debe definir $n \in \mathbb{Z}$ y no $n \in \mathbb{N}$ .

Además, por simple curiosidad, ¿cuáles son los argumentos que sustentan su signo de implicación?

Answer 4

Mi intento $:$

Sé que $\cos z = \frac {e^{iz} + e^{-iz}} {2}$ . Así que $\cos z = 0$ sólo si $e^{2iz} = -1$ . Sea $z = x + iy$ . Entonces tenemos $e^{-2y+ i2x} = -1$ es decir $e^{-2y} \cos 2x = -1$ y $e^{-2y} \sin 2x = 0$ .

Así es.

$\implies$ $y = 0$ y $x = \frac {(2n - 1) \pi} {2}$ ,

Este paso es correcto pero no es claro de seguir. Debería decir más bien $e^{-2y}\sin(2x)=0 \implies \sin(2x)=0$ como $e^{-2y}\neq 0$ . Por lo tanto, $x=\frac{\pi}{2}k$ en el que $k\in \mathbb{Z}$ .

Si introduces esto en la primera ecuación $e^{-2y} \cos 2x = -1$ obtendrá $e^{-2y}(-1)^k=-1 \implies e^{-2y}=(-1)^{k+1}$ .

¿Puedes completarlo desde aquí?

Answer 5

Sugerencia:)

Un planteamiento sencillo es que $e^{2iz}=-1$ vemos $2iz=\ln|-1|+i(-\pi+2k\pi)$ así que $\color{blue}{z=\dfrac{2k-1}{2}\pi}$ significa que los ceros de $w=\cos z$ son reales.