¿Cómo ayudan las primeras integrales a resolver ecuaciones diferenciales?

Question

Estoy leyendo sobre ecuaciones de Euler-Lagrange y esta sección en concreto no me queda muy clara. Consideremos la ecuación diferencial

$$\begin{bmatrix} \dot{x}\\ \dot{y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7x^{\frac{6}{7}}y^{\frac{1}{7}}\\ 7x^{\frac{1}{7}}y^{\frac{6}{7}} \end{bmatrix}\quad (x(0),y(0)) = (x_{0},y_{0}), \quad x_{0},y_{0} \neq 0.$$

¿Cómo puedo resolver esto utilizando el hecho de que $H(x,y) = x^{\frac{2}{7}} + y^{\frac{2}{7}}$ es una primera integral de la ecuación diferencial anterior?

Si dejamos que $u = (x,y)$ , $u(0) = (x_{0},y_{0})$ sea una solución de la ecuación diferencial anterior, entonces $H(u)$ es una constante. En particular, $H(u) = H(u(0))$ para todos $t$ ya que una primera integral es constante a lo largo de las soluciones de la ecuación diferencial.

Después de esto, estoy confundido. Sé que los conjuntos de niveles de $H(x,y)$ parece un asteroide. ¿Pero cómo me ayuda esto? ¿Es cada nivel conjunto de $H$ ¿la órbita de una solución de la ecuación diferencial? ¿Cómo sé que no hay puntos extraños en el conjunto de niveles que no forman parte de $u$ ?

Si lo anterior es correcto, no entiendo cómo escribir la solución general a partir de esta curva de nivel.

Answer 1

Los conjuntos de nivel de una integral primera no son necesariamente órbitas, sino que las órbitas son trozos de estos conjuntos de nivel. Si $L$ es un conjunto de niveles y $E$ el conjunto de puntos de equilibrio, los componentes conectados de $L \backslash E$ deben ser órbitas.

EDIT: Si puede parametrizar un conjunto de niveles (digamos como $x = X(s), y=Y(s)$ ), entonces sustituyendo $x = X(s(t)), y = Y(s(t))$ en la ecuación diferencial debería darnos una única ecuación diferencial de primer orden para $s(t)$ . En su ejemplo intentaría $x = c\; \cos(s)^7$ , $y = c\;\sin(s)^7$ .