Demostración de que una secuencia Z es convergente si y sólo si X & Y son convergentes

Question

He intentado demostrar la afirmación anterior de la siguiente manera. Por favor, hágamelo saber si mi prueba es correcta y si algo está mal, por favor hágamelo saber donde la prueba se equivocó.

Mi intento:

$X=(z_{2k-1})$

$Y=(z_{2k})$

Para probar: $Z$ es convergente $\iff$ $X$ et $Y$ son convergentes con $lim (X)=lim (Y)$

Primera parte:

$Z$ es convergente $\implies$ $X$ et $Y$ son convergentes con $lim (X)=lim (Y)$ :

1. $\forall$ $\epsilon>0 $ $\exists$ $N$ s $n \ge N$ : $|z_n-z|\lt\epsilon$

$\because $$ 2k\gt2k-1\ge k$ elige $k\ge N$

$\therefore$ para satisfacer 1. , $X$ et $Y$ ambos deben converger a $z$

2ª Parte:

$Z$ es convergente $\Leftarrow $ $X$ et $Y$ son convergentes con $lim (X)=lim (Y)$

Supongamos que Z no es convergente & $X,Y$ son convergentes con $lim (X)=lim (Y)=z$

2. $\exists$ $\epsilon>0 $ tal que $\forall$ $N$ : $|z_n-z|\ge\epsilon$ para algunos $n\ge N$

$\forall$ $\epsilon>0 $ $\exists$ $K$ s $k\ge K$ : $|z_{2k-1}-z|\lt\epsilon$

lo que contradice a 2. cuando N=K. Por lo tanto, por contradicción, también se demuestra la segunda parte.

Por qué tengo dudas con la prueba anterior es: Supongamos que hay una secuencia $X$ que tiene dos subsecuencias convergentes $X'$ et $Y'$ (ambos convergen a valores diferentes). Ahora la afirmación Convergencia de $X'\implies$ Convergencia de $X$ se puede demostrar utilizando la contradicción como en la 2ª parte anterior. Pero eso no es correcto. Por favor, díganme por qué es así. Gracias de antemano. :)

Answer 1

La prueba de la $\Leftarrow$ implicación no es correcta. Usted introduce un elemento $z$ pero no nos dices qué es.

Supongamos que $l=\lim X=\lim Y$ . Toma $\varepsilon>0$ . Hay números naturales $N_1$ et $N_2$ tal que $$n\geqslant N_1\implies\lvert x_n-l\rvert<\varepsilon\text{ and }n\geqslant N_2\implies\lvert y_n-l\rvert<\varepsilon.$$ Sea $N=\max\{N_1,N_2\}$ . Entonces, si $n\geqslant N$ , $n\geqslant N_1$ y, por lo tanto $z_{2n-1}=x_n$ así que $\lvert z_{2n-1}-l\rvert<\varepsilon$ . Y, si $n\geqslant N$ , $n\geqslant N_2$ y, por lo tanto $z_{2n}=y_n$ así que $\lvert z_{2n}-l\rvert<\varepsilon$ . Conclusión: la distancia de $z_{2N-1},z_{2N},z_{2N+1},\ldots$ a $l$ es menor que $\varepsilon$ . Por lo tanto, si $n\geqslant\left\lceil\frac N2\right\rceil+1$ , $\lvert z_n-l\rvert<\varepsilon$ .