Demuestra la propiedad de escala de un movimiento browniano.

Question

Tengo que demostrar que $X_t:=c^{-1/2}W_{ct}$ , $t\ge0$ donde $c>0$ es una constante es un proceso de Wiener.

Mi intento:

1) $X_0=c^{-1/2}W_0=0$

2) Sabemos que $(W_t)$ tiene trayectorias continuas. Esto implica que $(X_t)$ tiene también trayectorias continuas ya que la función continua multiplicada por una constante y con argumento escalado sigue siendo continua. ¿Verdad?

3) Independencia de los incrementos. Sabemos que $W_i-W_j$ et $W_k-W_l$ son independientes para todos $i, j, k, l\in\mathbb{R}^+$ . Ahora, $X_i-X_j=c^{-1/2}(W_{ci}-W_{cj})$ nad $X_k-X_l=c^{-1/2}(W_{ck}-W_{cl})$ así que $(X_t)$ tiene incrementos independientes.

4) $X_{s+\epsilon}-X_s=c^{-1/2}(W_{c(s+\epsilon)}-W_{cs})$ ~ $N(0,\epsilon)$

Answer 1

Sí, una solución alternativa es observar/probar $X_t$ es un proceso gaussiano y su media y covarianza coinciden con la media y covarianza de un movimiento browniano, por lo que deben tener la misma distribución.

aquí hay dos pruebas que hice para otras cosas para demostrar que son de Gauss.

El puente browniano como proceso gaussiano

https://stats.stackexchange.com/questions/78087/i-want-to-show-e-alpha-tbe2-alpha-t-is-a-gaussian-process-and-i-find/81010#81010

$X_t$ es guasiano si $\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i X_{t_i}$ tiene una distribución normal con todos los valores de $\lambda_i\in\mathbb{R}$ et $t_i\geq 0$ .