Sea $V_1=\{a\in \mathbb{R}\mid a>0\}$ con la multiplicación como suma vectorial y la multiplicación escalar $\lambda \odot v=v^{\lambda}$ .
Quiero comprobar si $V_1$ es un $\mathbb{R}$ -espacio vectorial.
Simbolicemos con $\oplus$ la suma de vectores. Entonces tenemos lo siguiente:
Cierre de la adición: $x\oplus y=x\cdot y\in V_1$
Asociatividad: $(x\oplus y)\oplus z=(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)=x\cdot (y\oplus z)=x\oplus (y\oplus z)$
Existencia de elemento neutro: $e\oplus x=x=x\oplus e \Rightarrow e\cdot x=x=x\cdot e \Rightarrow e=1$
Existencia de inversa aditiva: $x\oplus y=e=y\oplus x \Rightarrow x\cdot y=e=y\cdot x$ Así que $y$ es $x^{-1}$ ? (Se pregunta)
Conmutatividad: $x\oplus y=x\cdot y=y\cdot x=y\oplus x$
Así que.., $(V_1, \oplus)$ es un grupo abeliano.
¿Es correcto?
Sea $a,b\in K$ et $x\in V_1$ $(a+ b)\odot x=x^{a+ b}$ $a\odot x\oplus b\odot x=x^a\cdot x^b=x^{a+b}$
Sea $a\in K$ et $x,y\in V_1$
$a\odot (x\oplus y)=a\odot (x\cdot y)=(x\cdot y)^a=x^a\cdot y^a$ $a\odot x\oplus a\odot y=x^a\cdot y^a$
Sea $a,b\in K $ et $x\in V_1$ $(a\cdot b)\odot x=x^{a\cdot b}$ $a\odot (b\odot x)=a\odot x^b=(x^b)^a=x^{a\cdot b}$
Sea $x\in V_1$ $1\odot x=x^1=x$
¿Está todo correcto hasta ahora?
Entonces, ¿conseguimos que $V_1$ es un $\mathbb{R}$ -¿espacio vectorial?
