Ampliación del principio de Paris-Harrington

Question

Sea $[m,n]$ denota el conjunto $\{m,m+1, ... ,n-1,n\}$ . $X \to (k)^n_c$ significa que siempre que $f: [X]^n \to c$ existe un subconjunto $H \subset X$ con cardinalidad $k$ tal que $f$ es constante en $[H]^n$ (El conjunto $H$ aquí se describe a menudo como homogénea para $f$ .) En Principio París-Harrington (PH) estipula además que el conjunto homogéneo debe ser "relativamente grande". Sea $X \to_* (k)^n_c$ significa que siempre que $f: [X]^n \to c$ hay $H \subset X$ que es homogénea para $f$ et $\text{card}(H) \geq \text{max}(k, \text{min}(H))$ . PH afirma que $\forall n,c,k \in \mathbb{N} \; \exists m \in \mathbb{N} \; (m \to_* (k)^n_c)$ .

¿Es cierto lo siguiente? ¿Y cómo se demuestra a partir de PH?

$$ \forall n,c,k,a \in \mathbb{N} \; \exists m \in \mathbb{N} \; ([a, m] \to_* (k)^n_c) $$

Answer 1

El principio

$$\forall n,c,k,a\in\omega\,\exists m\in\omega\,\big([a,m]\to_*(k)_c^n\big)\tag{1}$$

es cierto; se puede demostrar esencialmente con la misma prueba que Paris y Harrington dieron para su principio.

Fijar $n,c,k$ y $a$ y supongamos que no $m$ existe. Llame a $\xi$ un contraejemplo para $m$ si $\xi$ es un $c$ -coloración de $[a,m]^n$ sin ningún conjunto homogéneo relativamente grande de cardinalidad al menos $k$ . Sea $T_m$ sea el conjunto de todos los contraejemplos de $m$ y que $T=\bigcup_{m\ge a}T_m$ Entonces $\langle T,\subseteq\rangle$ es un árbol finitamente ramificado de altura $\omega$ así que por el lema de König hay una rama $B$ a través de él. Deja que $\xi=\bigcup B$ ; $\xi$ es un $c$ -coloración de $[\omega\setminus a]^n$ tal que para cada $m\ge a$ , $\xi_m=\xi\upharpoonright[a,m]^n$ es un contraejemplo para $m$ .

El teorema de Ramsey infinito garantiza que existe un infinito $H\subseteq\omega\setminus a$ tal que $[H]^n$ es homogénea para $\xi$ . Claramente podemos elegir $m$ lo suficientemente grande como para que

$$\big|H\cap[a,m]\big|\ge\max\{k,\min H\}\,,$$

contradiciendo la suposición de que $\xi_m$ es un contraejemplo para $m$ y establecer $(1)$ .

Sin embargo, aún no veo cómo demostrarlo directamente desde PH.