Deformaciones de las variedades del carcaj de Nakajima

Question

¿Son las deformaciones de las variedades quiver de Nakajima también variedades quiver de Nakajima?

En caso de que la respuesta a esto sea (no k)no(w), he aquí algunas cosas más sencillas que pedir.

1. (Si eres un geómetra diferencial) ¿Es cualquier rotación hiperkahler / deformación twistor de una variedad quiver de Nakajima también una variedad quiver de Nakajima?

2. (Un ejemplo, para los geómetras algebraicos) Consideremos el esquema de Hilbert $H$ de $k$ puntos en la resolución mínima de $\mathbb C^2/(\mathbb Z/n)$ . O restringir a $n=2=k$ y considerar $Hilb^2T^*\mathbb P^1$ . Su divisor excepcional sobre el producto simétrico define una clase en $H^1(\Omega_H)$ (a pesar de la no compacidad). Utilizando la forma simpléctica holomorfa, obtenemos una clase de deformación en $H^1(T_H)$ . (La deformación correspondiente no está tan lejos de la deformación twistor, y puede realizarse como una composición de una deformación del espacio ALE seguida de una deformación twistor). ¿Existe una variedad del carcaj de Nakajima en la dirección de esta deformación?

Por ejemplo, si tomo el carcaj $\bullet^{\ \rightrightarrows}_{\ \leftleftarrows}\bullet$ vector de dimensión (1,1), y una condición de estabilidad apropiada (o valor del mapa de momentos reales) entonces obtengo $T^*\mathbb P^1$ como el espacio de moduli sobre el valor $0$ del mapa de momento complejo, y el suavizado del punto doble ordinario de la superficie sobre los valores distintos de cero.

Ahora si tomo el vector de dimensión (2,2) presumiblemente puedo obtener $Hilb^2$ de estas superficies, para una condición de estabilidad adecuada. Sin embargo, a medida que varío el valor del mapa de momentos complejos simplemente varío la superficie que tomo $Hilb^2$ de, en lugar de obtener la deformación que busco. (La rotación hyperkahler no es una $Hilb^2$ ya que el divisor excepcional desaparece en esta deformación).

Pero, ¿existe otra forma más silenciosa de producir esta deformación?

Answer 1

No conozco una declaración general. Sólo quiero hacer un comentario:

Ahora si tomo la dimensión vector $(2,2)$ Presumiblemente puedo conseguir $Hilb^2$ de estas superficies, para una condición de estabilidad adecuada.

No. Sólo se obtiene el producto simétrico de $T^*P^1$ si se trabaja con variedades quiver con el vector de dimensión $(2,2)$ .

Para obtener un $Hilb^2$ de la superficie, hay que poner el espacio vectorial unidimensional $W $ en el vértice 0, y tomar una condición de estabilidad adecuada. (Espero que estés familiarizado con la convención para las variedades quiver).

Entonces tenemos una familia bidimensional de variedades quiver de la deformación del mapa de momento complejo. Así obtenemos una dimensión más a partir de la deformación de la superficie subyacente.

Answer 2

Hay un sentido en el que todas las deformaciones de las variedades quiver de Nakajima son al menos moralmente de nuevo variedades quiver. Permítanme no intentar ser preciso, ya que meteré la pata si lo hago.

En primer lugar, obsérvese que cualquier variedad de carcaj $X=\mu^{-1}_{\mathbb {C}}(0)//_{\alpha}G$ escrito como una reducción hiperkaehler de un espacio vectorial $T^*E$ por un grupo $G$ tiene una deformación natural sobre $\mathfrak{g}^*$ dada por $T^*E//_{\alpha}G$ ; las fibras son las reducciones a diferentes niveles del mapa de momentos complejos.

Existe un teorema de Kaledin y Verbitsky lo que implica que en cualquier familia simpléctica lisa $\tilde X\to S$ (uno equipado con un elemento no degenerado de $\Omega^2(\tilde{X}/S)$ ) analíticamente de forma local en cualquier punto cerrado $s$ donde la fibra es una variedad del carcaj de Nakajima "parece como variar el parámetro del mapa de momento". Formalmente, esto significa que hay un espacio de moduli grueso para deformaciones formales de la variedad quiver de Nakajima dado por $H^2(X;\mathbb{C})$ (el mapa no es más que tomar la clase de cohomología de la forma simpléctica). Tomar la forma simpléctica de las diferentes reducciones hace que $H^2(X,\mathbb{C})$ un cociente de $\mathfrak{g}^*$ por suryectividad de Kirwan (demostrada por Harada y Wilkin ) por lo que todas las deformaciones formales proceden de ésta (en sentido grueso, no fino, creo).

No estoy muy seguro de hasta qué punto puede hacerse "global". Tal vez alguien que entienda la teoría de la deformación de variedades no compactas pueda decir algo más.

Answer 3

Un ejemplo más:

Tome el carcaj de tipo $A_1$ y los espacios vectoriales $V$ , $W$ con $\dim V > \dim W$ . Entonces la variedad quiver es vacía sin tener en cuenta las parematerias de estabilidad (genéricas) ni los parámetros complejos del mapa de momentos. Pero tenemos un espacio de deformación unidimensional para la ecuación del mapa de momentos.

¿Alguien conoce la teoría de la deformación del conjunto vacío?

Answer 4

Gracias por esto Ben (y por la actualización del título). De hecho, Ivan Smith me señaló el artículo de Kaledin-Verbitsky hace algún tiempo y lo había olvidado. Pero parece que el documento Harada-Wilkin podría ser suficiente para resolver este rompecabezas.

Para simplificar y concretar las cosas, quiero centrarme en la $Hilb^2T^*\mathbb P^1$ ejemplo, es decir, el carcaj $\bullet^{\ \rightrightarrows}_{\ \leftleftarrows}\bullet$ con el vector de dimensión $(2,2)$ .

Si lo he entendido bien, creo que sólo hay una deformación de mapa de momento complejo: el dual del álgebra de mentira del centro $\mathbb C^\ast\times\mathbb C^\ast$ de $GL(2)\times GL(2)$ dividido por la diagonal $\mathbb C^\ast$ .

Pero creo que $Hilb^2T^*\mathbb P^1$ tiene 2 dimensiones $H^2$ .

¿Esto contradice a Harada-Wilkin? He mirado su artículo, pero hay que conocerlo entero para saber cómo combinar sus resultados sobre las variedades quiver de Nakajima con sus resultados sobre las variedades quiver (estas últimas no tienen la condición de mapa de momento complejo).

2 posibles soluciones:

(a) Harada-Wilkin parece relacionar la cohomología con el dual de toda el álgebra de mentira, no sólo con el centro. Así pues, ¿quizás no se puedan interpretar sus resultados en términos de valores del mapa de momentos?

(b) ¿Su condición sobre el vector de dimensión que contiene un 1 en la Proposición 7.6 (p42) podría ser un problema? Si es así, ¿desaparecería mi problema (es decir, obtendría más deformaciones del mapa de momentos) expresando $Hilb^2T^*\mathbb P^1$ como una variedad Nakajima quiver de una manera diferente, utilizando una construcción con un 1 en el vector de dimensión? ¿Alguien conoce tal construcción?

Muchas gracias por su tiempo, estoy muy impresionado por la generosidad disponible en este sitio web.