¿El cierre de conjuntos bajo simétrico implica que la colección que lo engloba es un álgebra?

Question

Soy nuevo en matemáticas y llevo un rato dándome cabezazos contra la pared con esta pregunta de la tarea. Estoy tratando de determinar si una colección $\mathcal{F}$ es necesariamente un álgebra, sabiendo que:

1) Es cerrado bajo diferencia simétrica para $\mathcal{A, B} \in \mathcal{F}$ et $\mathcal{A}\Delta\mathcal{B} \in \mathcal{F}$ .

2) El universo está en la colección, $\mathcal{S} \in \mathcal{F}$ .

Entiendo que, por definición, un álgebra es cerrada bajo unión finita (unión contable para $\sigma$ -), y que también está cerrada por complementación. Supongo que si esto es cierto, hay una manera de demostrar que el uso de los hechos conocidos 1 y 2. No he tenido suerte demostrando esto (si es aplicable).

Gracias de antemano por su ayuda.

Answer 1

He aquí un contraejemplo. . .

Sea $\mathcal{F}$ sea el conjunto de todos los subconjuntos de $\{1,2,3,4\}$ con un número par de elementos.

Es fácil comprobar que $\mathcal{F}$ es cerrado bajo diferencia simétrica.

Sin embargo $\mathcal{F}$ no es cerrado bajo intersecciones finitas, ya que, por ejemplo, $\{1,2\} \in\mathcal{F}$ et $\{1,3\} \in\mathcal{F}$ pero $\{1\} \notin \mathcal{F}$ .