¿Qué relación hay entre las sumas de Gauss y la distribución normal?

Question

Sea $p$ sea un primo impar y $\left( \frac{a}{p} \right)$ el símbolo de Legendre. La dirección Suma de Gauss

$\displaystyle g_p(a) = \sum_{k=0}^{p-1} \left( \frac{k}{p} \right) \zeta^{ak},$

donde $\zeta_p = e^{ \frac{2\pi i}{p} }$ es una función periódica de período $p$ que a veces se invoca en las pruebas de reciprocidad cuadrática. Resulta que , $g_p(a) = \left( \frac{a}{p} \right) i^{ \frac{p-1}{2} } \sqrt{p}$ Así que $g_p(a)$ es esencialmente una función propia de la transformada discreta de Fourier. Ahora bien, si $(a, p) = 1$ podemos escribir

$\displaystyle g_p(a) = \sum_{k=0}^{p-1} \zeta^{ak^2}$

por lo que las sumas de Gauss son una especie de análogo finito de la distribución normal $e^{-\pi x^2}$ que, como es bien sabido, es una función propia de la transformada de Fourier en $\mathbb{R}$ . Recuerdo que alguien me afirmó una vez que ambos están estrechamente relacionados, pero no he podido localizar una referencia. ¿Alguien sabe cuál es la relación exacta? ¿Existe por ahí una teoría de grupos abelianos autoduales localmente compactos?

Answer 1

Es cierto (como señalan la respuesta de abajo y algunos de los comentaristas) que es fácil interpretar esta pregunta de una manera que la hace parecer trivial y sin interés. Sin embargo, estoy bastante seguro de que perseguir la similitud tipográfica entre $e^{x^2}$ et $\zeta^{m^2}$ da lugar a matemáticas interesantes, así que aquí va un intento más serio de propaganda de algunos de los trabajos de Ivan Cherednik.

Páginas 6,7,8 y 9 de Cherednik's papel "Las álgebras de Hecke doblemente afines y las transformadas de diferencia de Fourier" explican cómo ``interpolar'' entre fórmulas integrales que relacionan la gaussiana con la función gamma y (cierta generalización de) las sumas de Gauss.

Más explícitamente, muestra que la fórmula (para mucha gente, en realidad es sólo la definición de la función Gamma)

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} x^{2k} dx=\Gamma \left( k+\frac{1}{2} \right)$$

(para $k \in \mathbb{C}$ con parte real $>-1/2$ ) y la suma de Gauss-Selberg

$$\sum_{j=0}^{N-2k} \zeta^{(k-j)^2/4} \frac{1-\zeta^{j+k}}{1-\zeta^k} \prod_{l=1}^j \frac{1-\zeta^{l+2k-1}}{1-\zeta^l}=\prod_{j=1}^k (1-\zeta^j)^{-1} \sum_{m=0}^{2N-1} \zeta^{m^2/4}$$

(donde $N$ es un número entero positivo, $\zeta=e^{2\pi i/N}$ es un prim. $N$ raíz de $1$ y $k$ es un número entero positivo como máximo $N/2$ ) pueden obtenerse ambos como casos límite de la misma $q$ -identidad de la serie. La generalización común de la gaussiana y la función $k \mapsto \zeta^{k^2}$ es la función $x \mapsto q^{x^2}$ y las medidas que ponderan la integral y la suma se sustituyen por la medida de Macdonald -esencialmente la misma que aparece en la conjetura del término constante para $A_1$ y que produce los polinomios de Macdonald y puso en marcha la DAHA . La transformada de Fourier se deforma junto con todo lo demás para producir la transformada "Cherednik-Fourier".

No sé hasta qué punto la historia de las raíces de la unidad se generaliza a los sistemas de raíces de rango superior.

Nota: En la suma de Gauss-Selberg, sustituyendo $k$ por la parte entera de $N/2$ y manipulando un poco (como en la buena exposición de David Speyer enlazada en la pregunta anterior) se obtiene la fórmula habitual para la suma de Gauss.

Answer 2

No creo que haya nada profundo aquí. El análisis de Fourier en un grupo abeliano finito es bastante sencillo.

Las sumas de Gauss son los coeficientes de Fourier que se obtienen al expandir un carácter aditivo $k \rightarrow e^{\frac{2\pi iak}{p}}$ con respecto a la base de caracteres multiplicativos (es decir, los que dan lugar a los caracteres de Dirichlet cuando nuestro grupo es $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ). Una suma de Gauss es una suma del producto de un carácter aditivo y otro multiplicativo y, como tal, puede considerarse un análogo de grupo finito de la función Gamma. Recordemos que la función Gamma es la integral sobre $\mathbb{R}^{>0}$ del producto de $e^{-x}$ (carácter aditivo en los reales) y $x^s$ (un carácter multiplicativo en $\mathbb{R}^{>0}$ ) con respecto a la medida de Haar $\frac{dx}{x}$ en $\mathbb{R}^{>0}$ .

Probablemente esté pensando ${\zeta_p}^{ak^2}$ como el análogo finito de la gaussiana $e^{-\pi x^2}$ pero como tú mismo has escrito,

$g_p(a)=\sum_{k=0}^{p-1} {\zeta_p}^{ak^2}$ ,

una suma de Gauss es una suma de "cosas" que se parecen a la gaussiana y no hay ninguna razón por la que una suma de Gauss en sí misma deba ser algo parecido a la gaussiana.