Demostrar que dos funciones periódicas son ortogonales

Question

Supongamos que tenemos una función periódica $f_K(\vec x)$ .

Queremos demostrar que $\int {f_K^*(\vec x) f_{K'}(\vec x) d\vec x} = \delta_{KK'}$ donde la integración es sobre el periodo de $f(x)$ .

Sé que esto tiene que ver con las series de Fourier, una de cuyas formas es:

$$f(x) = \frac {a_0}{2} + \sum_{n=1}^N [a_n \cos(nx)+ b_n \sin(nx)] ,$$

donde

$$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)dx, $$

$$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)dx .$$

No puedo continuar porque me parece una lógica circular. ¡Cosenos y Senos son en sí mismos funciones ortogonales, no entiendo cómo utilizarlos para demostrar la ortogonalidad de otra función que debe depender - a través de la transformada de Fourier - de la ortogonalidad de los senos y cosenos! Lo sé, estoy malinterpretando algo.

Answer 1

Es cierto que los cosenos y los senos son ortogonales. Sin saber algo sobre $f_K(\vec x)$ y $f_{K'}(\vec x)$ no son automáticamente ortogonales. Una forma de demostrarlo es expandir $f_K$ como una serie de Fourier, pero eso sólo funcionará si la relación entre $f_K$ y $f_{K'}$ tiene razón. No es circular, estás reduciendo el problema a uno que ya has resuelto.

Answer 2

No todas las funciones periódicas son ortogonales; $\sin(x)$ no es ortogonal a $\sin(x)+\cos(x)$ .