Sea $θ\sim\text{Unif}([0,2\pi])$ y definir $X_k=\sin(kθ)$ , $k\in\Bbb N$ . Demuestre que $(X_1+⋯+X_n)/n→0$ a.e

Question

Sea $$ se distribuya uniformemente en $[0, 2\pi]$ y definir $X_k= \sin k\theta (k= 1,2, ...)$ . Demuestre que $(X_1+\cdots+X_n)/n\to0$ a.e

Intentos $S_n=(X_1+\cdots+X_n)/n$ a partir de la desigualdad de Kolmogorov obtenemos para cualquier $\epsilon>0,P\{\max\limits_{1\leq j\leq n}S_j\geq\epsilon\}\leq 1/(n\epsilon^2)$ pero ¿cómo conseguir $P\{\lim_n S_n\neq0\}=0$ ?

Answer 1

Esto se deduce de Equidistribución de Weyl teorema.

Desde $\theta$ se distribuye uniformemente en $[0,2\pi]$ , $\mathbb{P}[\theta/2\pi\in\mathbb{Q}^c]=1$ . Desde $\sin$ es integrable de Riemann en en $[0,2\pi]$ Teorema de Weyl implica que la media $\frac{X_1(\theta)+\ldots + X_n(\theta)}{n}$ converge a $\frac{1}{2\pi}\int^{2\pi}_0\sin(t)\,dt=0$ .

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• El hecho de que $\theta k/2\pi$ es equidistribuido en $[0,1]$ $\mod 1$ cuando $\theta/2\pi$ es irracional es un hecho bien conocido y ha sido discutido en MSE antes. Muchos libros de Probabilidad discuten este ejemplo en su tratamiento de la teoría ergódica (véase Billingsley, P., Probabilidad y medida , tercera edición, Nueva York, Wiley 1995, o Durrett, Probabilidad: Teoría y ejemplos , quinta edición, Cambridge University Press, 2019).

• El teorema de la equidistribución de Weyl puede estudiarse sin utilizar la pesada maquinaria de la teoría ergódica mediante el cálculo (integración de Riemann y teorema de la densidad de Weierstrass).

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Obsérvese que las variables aleatorias $X_n(\theta)=\sin(k\theta)$ tienen media $0$ y son ortogonales: $$\frac1{2\pi}\int^{2\pi}_0\sin(n\theta)\,d\theta=0,\qquad \frac1{2\pi}\int^{2\pi}_0\sin(n\theta)\sin(m\theta)\,d\theta=\frac12\delta_{n,m}$$ Por lo tanto, se cumple la ley débil de los grandes números, es decir, que $S_n=X_1+\ldots+X_n$ . Entonces $$\mathbb{E}\Big[\Big|\frac{S_n}{n}\Big|^2\Big]=\frac{1}{2n}\xrightarrow{n\rightarrow\infty}0$$ Así $\frac1nS_n$ converge a $0$ en $L_2$ en probabilidad y, por tanto, casi con seguridad a través de una subsecuencia.