Un lápiz para encontrar $\sum \limits_{i=1}^{69} \sqrt{\left( 1+\frac{1}{i^2}+\frac{1}{(i+1)^2}\right)}$

Question

¿Cuál es el método más rápido, con lápiz y papel, para encontrar $$\sum \limits_{i=1}^{69} \sqrt{\left( 1+\frac{1}{i^2}+\frac{1}{(i+1)^2}\right)}?$$

En realidad, se trata de un problema de aptitud cuantitativa, por lo que las soluciones deberían ser lo suficientemente rápidas y probablemente inferiores a un minuto.

Utilizando wolframalpha, la suma parece ser $\frac{4899}{70}$ ; sin embargo, no estoy seguro de cómo encontrar esto rápidamente en la forma de papel-lápiz.

Answer 1

Edición: ¡Ahora en tecnicolor de alta definición! $$\sum \limits_{k=1}^n \sqrt{\color{red}1+\color{Green}{\frac{1}{k^2}}+\color{Blue}{\frac{1}{(k+1)^2}}}$$ $$=\sum_{k=1}^n\sqrt{\frac{\color{red}{k^2(k+1)^2}+\color{Green}{(k+1)^2}+\color{Blue}{k^2}}{k^2(k+1)^2}}$$ $$=\sum_{l=1}^n \sqrt{\frac{k^4+2k^3+3k^2+2k+1}{k^2(k+1)^2}}$$ $$=\sum_{k=1}^n\sqrt{\frac{\color{Red}1k^4+(\color{Red}1+\color{Green}1)k^3+(\color{Red}1+\color{Green}1+\color{Blue}1)k^2+(\color{Green}1+\color{Blue}1)k+\color{Blue}1}{k^2(k+1)^2}} $$ $$=\sum_{k=1}^n\sqrt{\frac{\color{Red}{k^2(k^2+k+1)}+\color{Green}{k(k^2+k+1)}+\color{Blue}{(k^2+k+1)}}{k^2(k+1)^2}} $$

$$=\sum_{k=1}^n\sqrt{\frac{(k^2+k+1)^2}{k^2(k+1)^2}}$$ $$=\sum_{k=1}^n\frac{\color{Purple}{k^2+k}+\color{Blue}1}{k^2+k}$$ $$=\sum_{k=1}^n \left(\color{Purple}1+\color{Blue}{\frac{1}{k(k+1)}}\right) $$ $$=\sum_{k=1}^n \left(1+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)$$ $$=n+1-\frac{1}{n+1}.$$ Especialización $n=69$ da $69+1-1/70=4899/70$ . Tenga en cuenta que es muy útil memorizar esto: $$\frac{1}{k(k+a)}=\frac{1}{a}\frac{(k+a)-k}{k(k+a)}=\frac{1}{a}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+a}\right).$$

Answer 2

Multiplicando para obtener un denominador común tenemos que $$1+\frac{1}{i^{2}}+\frac{1}{(i+1)^{2}}=\frac{i^{2}(i+1)^{2}+(i+1)^{2}+i^{2}}{i^{2}(i+1)^{2}} $$

$$=\frac{i^{4}+2i^{3}+3i^{2}+2i+1}{i^{2}(i+1)^{2}}=\frac{(i^{2}+i+1)^{2}}{i^{2}(i+1)^{2}}.$$ Por lo tanto, nuestra suma es $$\sum_{i=1}^{69}\frac{i^{2}+i+1}{i(i+1)}=\sum_{i=1}^{69}\left(\frac{i^{2}+2i+1}{i(i+1)}-\frac{i}{i(i+1)}\right) $$

$$=\sum_{i=1}^{69}\frac{i+1}{i}-\frac{1}{i+1}=69+\sum_{i=1}^{69}\left(\frac{1}{i}-\frac{1}{i+1}\right).$$ El lado derecho se telescopia, por lo que concluimos que la respuesta es $$69+1-\frac{1}{70}=70-\frac{1}{70}=\frac{4899}{70}.$$

Answer 3

Esta es una respuesta tardía (ya que me uní hace tres semanas), pero aquí es otro método. Escribe

\begin{align} 1 + \frac{1}{i^2} + \frac{1}{(i + 1)^2} &= 1 + \frac{2}{i(i+1)} + \left(\frac{1}{i^2} - \frac{2}{i(i+1)} + \frac{1}{(i+1)^2}\right)\\ &= 1 + 2\left(\frac{1}{i} - \frac{1}{i+1}\right) + \left(\frac{1}{i} - \frac{1}{i+1}\right)^2\\ &= \left(1 + \frac{1}{i} - \frac{1}{i+1}\right)^2. \end{align}

Entonces

\begin{equation} \sum_{i = 1}^{69} \sqrt{1 + \frac{1}{i} + \frac{1}{i^2}} = \sum_{i = 1}^{69} \left(1 + \frac{1}{i} - \frac{1}{i + 1}\right) = 69 + \sum_{i = 1}^{69} \left(\frac{1}{i} - \frac{1}{i+1}\right) = 70 - \frac{1}{70} = \frac{4899}{70}. \end{equation}