límite de $\left(\frac{nx}{1+nx}\right)^{n}$ cuando $n\rightarrow\infty$

Question

Para $x>0$ el límite cuando $n\rightarrow \infty$ de \begin{equation} F_n(x)=\left(\frac{nx}{1+nx}\right)^{n}=\left( 1-\frac{1}{1+nx} \right)^{n} \end{equation} es igual a $e^{-1/x}$ . Así que \begin{equation} \lim_{n\rightarrow\infty}\left( 1-\frac{1}{1+nx} \right)^{n}=e^{-1/x} \end{equation}

No entiendo cómo pasar del lado izquierdo de la igualdad al lado derecho. Estoy aplicando la siguiente identidad $$e^{x}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n} $$

Intento aplicar esta identidad

\begin{equation} \displaystyle e^{-1/x}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left( 1+\frac{-1/x}{n} \right)^{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{n-1/x}{n} \right)^n=\lim_{n\rightarrow\infty}\left( \displaystyle\frac{\frac{nx-1}{x}}{n}\right)^n=\lim_{n\rightarrow\infty}\left( \frac{n^2x-n}{x} \right)^n \end{equation} Pero no puedes obtener la expresión matemática indicada.

Answer 1

Puede reescribir $$\left(\frac{nx}{1+nx}\right)^n=\left(1-\frac{1}{1+nx}\right)^n=\left[\left(1-\frac{1}{1+nx}\right)^{1+nx}\right]^{\frac{1}{x}}\left[\left(1-\frac{1}{1+nx}\right)^{-1}\right]^{\frac{1}{x}}\longrightarrow (e^{-1})^{\frac{1}{x}}\cdot1=e^{-\frac{1}{x}}.$$

Answer 2

Si $L=\lim_{x \rightarrow a} f(x)^{g(x)} \rightarrow 1^{\infty}$ entonces $L=\exp[\lim_{x\rightarrow a} g(x)[f(x)-1]]$ $$\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{nx}{1+nx}\right)^{n}=\exp[\lim_{x \rightarrow \infty} [\frac{-n}{1+nx}]=\exp[\lim_{n \rightarrow \infty} [\frac{-1}{1/n+x}]]=e^{-1/x}.$$