Ecuación relativa a los subgrupos Sylow de un grupo $G$ de orden $pqr$ .

Question

Intento demostrar el siguiente resultado. Creo que no lo estoy entendiendo correctamente. Sólo para aclarar, mi conocimiento se extiende a los corolarios del teorema de Sylow, pero no sé acerca de los grupos solubles.

Sea $G$ sea un grupo de orden $pqr$ , $p>q>r$ . Demostrar que $|G| \geq 1 + n_p(p-1) + n_q(q-1) + n_r(r-1)$

Esto es lo que he pensado.

Lo que he entendido es que la ecuación me dice que demuestre que hay más elementos del grupo $G$ que los elementos que pertenecen a cualquier subgrupo Sylow. ¿No es esto siempre válido? Lo que significa que estoy viendo el caso cuando la desigualdad es estricta?. Esto me confunde. De todas formas, en ese caso si encuentro un elemento de orden, digamos $pq$ entonces ese elemento no será un elemento de ningún subgrupo Sylow. Así que la ecuación será válida con una desigualdad estricta.

Sé que en este grupo hay un grupo normal de orden $p$ lo que significa que $n_p = 1$ . De esto puedo concluir que existe un subgrupo normal de orden $pq$ . Si supiera que $p \neq 1\mod{q}$ entonces el subgrupo sería un subgrupo cíclico, lo que significa que puedo encontrar un elemento de orden $pq$ y la ecuación será válida. Bu no hay restricciones en ninguno de los dos $p$ o $q$ .

Agradecería cualquier pista. Lo siento si se ha preguntado antes.

Editar : Tal vez la pregunta podría reformularse como ¿existe un subgrupo cíclico de orden mayor que $p$ ? Si es así, el problema está resuelto.

Answer 1

Dado que todos los subgrupos Sylow de $G$ son de orden primo, la intersección de dos subgrupos Sylow distintos cualesquiera es trivial. Por lo tanto, hay $n_p (p − 1)$ elementos de orden $p$ , $n_q (q − 1)$ elementos de orden $q$ , $n_r(r − 1)$ elementos de orden $r$ y $1$ elemento de orden $1$ en G. Por lo tanto se cumple la desigualdad.