Conjunto contable - $\aleph_0$ o finito?

Question

Tengo 100 juegos $A_1,\ldots,A_{100}$ . Todos ellos son subconjuntos de $\Bbb R$ . Para cada $A_i$ el complemento de $A_i$ sur $\Bbb R$ es un conjunto contable.

$A= A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_{100}$ .

$B$ es el complemento de $A$ . ¿Cuál es el número cardinal de $B$ ? Hay 4 opciones como respuesta:

1. $0$
2. número finito pero no $0$
3. $\aleph_0$
4. c

Creo que se puede $2$ ou $3$ porque no sabemos si el "complemento de $A_i$ sur $\Bbb R$ es un conjunto contable' son todos finitos o uno de ellos es $\aleph_0$ .

¿Estoy en lo cierto?

La respuesta formal a esta pregunta es $3$ .

Answer 1

La respuesta depende únicamente de cuál sea tu definición de "contable". Como usted señala, si un conjunto contable puede ser finito, entonces la opción $2$ es realmente una posibilidad. Véase este artículo de Wikipedia : "Algunos autores utilizan conjunto contable para significar contablemente infinito solo".

Editado para añadir: Como señala Keen-amateur, la opción $1$ también es posible si un conjunto contable puede estar vacío.

Answer 2

Si toma contable es decir exactamente contable es decir, no finito y no vacío, entonces $3$ es su única respuesta, ya que

$$B = A^c = (\bigcap(A_i))^c = \bigcup(A_i)^c$$

que es una unión finita de conjuntos exactamente contables. En caso contrario, ambos $1$ y $2$ podrían ser respuestas.