Calcule $\mathbb{E}(X-Y\mid 2X+Y).$ si $X\sim N(0,a)$ y $Y\sim N(0,b)$

Question

Preguntas: Dado que $X$ y $Y$ son dos variables aleatorias que cumplen $X\sim N(0,a)$ y $Y\sim N(0,b)$ para algunos $a,b>0$ . Supongamos que $X$ y $Y$ tienen correlación $\rho.$ C $$\mathbb{E}(X-Y \mid 2X+Y).$$

Intenté utilizar el hecho de que si $A$ y $B$ son independientes, entonces $\mathbb{E}(A\mid B) = \mathbb{E}(A)$ y no correlacionado implica independencia en la distribución normal conjunta.

Así que intenté expresar $X-Y$ como combinación lineal de $2X+Y$ y $Z$ donde $\operatorname{Cov}(2X+Y,Z) = 0.$ Pero no soy capaz de hacerlo.

Se agradece cualquier pista.

Answer 1

Elija $A$ tal que $(X-Y)-A(2X+Y)$ es independiente de $2X+Y$ . Por esta necesidad $E[((X-Y)-A(2X+Y)) (2X+Y)]=0$ y esto es ciertamente posible. Ahora $E(X-Y|2X+Y)=E(((X-Y)-A(2X+Y)+A(2X+Y)|2X+Y)=0+A(2X+Y)$ .

Answer 2

La distribución conjunta de $(Z_1,Z_2)\equiv(X-Y,2X+Y)$ es $\mathcal{N}(0,\Sigma)$ donde $$ \Sigma=\begin{bmatrix} a+b-2\rho\sqrt{ab} & 2a-b-\rho\sqrt{ab} \\ 2a-b-\rho\sqrt{ab} & 4a+b+4\rho\sqrt{ab} \end{bmatrix}. $$ Entonces el distribución condicional de $Z_1$ dado $Z_2$ es $$ Z_1\mid Z_2=z\sim \mathcal{N}(\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}z,\,\Sigma_{11}-\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}\Sigma_{21}). $$

Answer 3

Utilizamos dos propiedades:

Primero: $E(2X+Y|2X+Y)=2X+Y$

Segundo: $(X-dY,2X+Y)$ es normal bivariante(para $d\neq - \frac{1}{2}$ ), si $Cou(X-dY,2X+Y)=0$ así que $X-dY$ y $2X+Y$ son independientes(por conjunto $\rho=0$ en la distribución bivarita de la junta $(X-dY,2X+Y)$ Correlaciones_e_independencia ). $E(X-dY|2X+Y)=E(X-dY)=0$ .

$$E(2X+Y|2X+Y)=2X+Y$$

así que

$$E(Y|2X+Y)=2X+Y-2E(X|2X+Y) \hspace{1cm} (1)$$

Para el primer paso $\rho=0$

$$cou(X-2\frac{a}{b} Y,2X+Y)=2Var(X)-2\frac{a}{b} Var(Y)=2a-2\frac{a}{b}b=0$$

así que como $X-2\frac{a}{b} Y$ y $2X+Y$$ son normales, por lo que son independientes.

por lo tanto $$E(X-2\frac{a}{b} Y|2X+Y)=E(X-2\frac{a}{b} Y)=0$$

$$E(X|2X+Y)=2\frac{a}{b} E(Y|2X+Y)\hspace{1cm} (2)$$

combinar (1) y (2)

$$E(X|2X+Y)=\frac{2\frac{a}{b}}{1+4\frac{a}{b}}\bigg(2X+Y\bigg)$$

$$E(Y|2X+Y)=\frac{1}{1+4\frac{a}{b}}\bigg(2X+Y\bigg)$$

así que

$$E(X -Y|2X+Y)=(\frac{2\frac{a}{b}}{1+4\frac{a}{b}}-\frac{1}{1+4\frac{a}{b}})\bigg(2X+Y\bigg)=(\frac{2\frac{a}{b}-1}{1+4\frac{a}{b}})\bigg(2X+Y\bigg)$$

**Ahora para el caso general** $\rho \in[-1,1]$

si $$d=\frac{2a+\rho\sqrt{a} \sqrt{b}}{b+2\rho \sqrt{a} \sqrt{b}} \hspace{1cm} (3)$$

$$cou(X-dY,2X+Y)=2a-db+(1-2d)\rho \sqrt{a} \sqrt{b}$$ $$=2a+\rho \sqrt{a} \sqrt{b}-d(b+2\rho \sqrt{a} \sqrt{b})=0$$

así que $$E(X-dY|2X+Y)=E(X-dY)=0$$ y en consecuencia

$$E(X|2X+Y)=dE(Y|2X+Y) \hspace{1cm} (4)$$

Combinar (4) y (1)

$$E(Y|2X+Y)=2X+Y-2E(X|2X+Y)=2X+Y-2dE(Y|2X+Y)$$ así que

$$E(Y|2X+Y)=\frac{1}{1+2d}\bigg(2X+Y\bigg) \hspace{1cm} (5)$$ y

$$E(X|2X+Y)=dE(Y|2X+Y)=\frac{d}{1+2d}\bigg(2X+Y\bigg) \hspace{1cm} (6)$$

(5) y (6)

$$E(X-Y|2X+Y)=\frac{d-1}{1+2d}\bigg(2X+Y\bigg)$$

$$=\frac{\frac{2a+\rho\sqrt{a} \sqrt{b}}{b+2\rho \sqrt{a} \sqrt{b}}-1}{1+2\frac{2a+\rho\sqrt{a} \sqrt{b}}{b+2\rho \sqrt{a} \sqrt{b}}}\bigg(2X+Y\bigg)$$

$$=\frac{2a-b-\rho \sqrt{a} \sqrt{b}}{b+4a+4\rho \sqrt{a} \sqrt{b}}\bigg(2X+Y\bigg)$$

detalle para "@Estudiante"

Ahora explico por qué creo que si $Cou(X-dY,2X+Y)=0$ así que $X-dY$ y $2X+Y$ son independientes.

1) $(X-dY,2X+Y)$ es normal bivariante para $d\neq \frac{-1}{2}$

Puedo escribir \begin{eqnarray} \begin{bmatrix} X-dY \\ 2X+Y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -d \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X \\ Y \end{bmatrix} \end{eqnarray}

Por linear-transformation-of-gaussian-random-variable Creo que \begin{eqnarray} \begin{bmatrix} X-dY \\ 2X+Y \end{bmatrix} \end{eqnarray}

es normal bivariante.

2) Ahora por Correlaciones_e_independencia Creo que si $Cou(X-dY,2X+Y)=0$ así que $X-dY$ y $2X+Y$ son independientes. wikipedia: "En general, las variables aleatorias pueden no estar correlacionadas pero ser estadísticamente dependientes. Pero si un vector aleatorio tiene una distribución normal multivariante, entonces dos o más de sus componentes no correlacionados son independientes".

Answer 4

Por @Kavi Rama Murthy respuesta (y yo en otra respuesta)
$$E(X-Y|2X+Y)=A(2X+Y)$$ Ahora Por la propiedad Proyección , $E(X-Y|2X+Y)$ minimizado

$$E(X-Y-g(2X+Y))^2$$ conditional-expectation-as-best-predictor

Quiero encontrar $A$ minimizando $E(X-Y-A(2X+Y))^2$

$$E(X-Y-A(2X+Y))^2=E((1-2A)X-(1+A)Y)^2$$ $$=E((1-2A)X)^2+E((1+A)Y)^2 -2E((1-2A)X (1+A)Y)2$$ $$=(1-2A)^2E(X)^2+(1+A)^2E(Y)^2 -2(1-2A)(1+A)E(X Y)$$ $$=(1-2A)^2a+(1+A)^2b -2(1-2A)(1+A)cou(X Y)$$ $$=(1-2A)^2a+(1+A)^2b -2(1-2A)(1+A)\rho \sqrt{a}\sqrt{b}$$

por derivación $\frac{d}{dA}$ e igual a $0$

$$\frac{d}{dA} E((1-2A)X-(1+A)Y)^2=0$$ $$\Leftrightarrow$$

$$0= -4(1-2A)a+2(1+A)b-2(-2)(1+A)\rho \sqrt{a}\sqrt{b}-2(1-2A)\rho \sqrt{a}\sqrt{b}$$

$$\Leftrightarrow$$

$$0=\bigg( -4a+2b+4\rho \sqrt{a}\sqrt{b}-2\rho\sqrt{a}\sqrt{b} \bigg)+\bigg( 8a+2b+4\rho \sqrt{a}\sqrt{b}+4\rho \sqrt{a}\sqrt{b} \bigg)A$$

$$\Leftrightarrow$$

$$0=\bigg( -4a+2b+2\rho \sqrt{a}\sqrt{b} \bigg)+\bigg( 8a+2b+8\rho \sqrt{a}\sqrt{b} \bigg)A$$ $$\Leftrightarrow$$

$$A=\frac{2a-b-\rho \sqrt{a}\sqrt{b}}{4a+b+4\rho \sqrt{a}\sqrt{b}}$$