¿Por qué incluir la igualdad en FOL para ZFC?

Question

¿Cuáles son los pros y los contras de trabajar con lógica de primer orden con igualdad para construir ZFC, cuando lo único que hay que hacer es ' $x=y$ una abreviatura de: $$'\forall z [z \in x \Leftrightarrow z \in y] \land \forall w [x \in w \Leftrightarrow y \in w]'$$

Answer 1

Hay dos "sabores" de de primer orden lógica: con y sin igualdad .

En el primer caso (con), el igualdad se considera un símbolo lógico símbolo, es decir, no podemos "interpretarlo" de distintas maneras según el contexto (como el connotativo y los cuantificadores).

En la segunda (sin) el igualdad se considera un símbolo "matemático", como $+$ para la aritmética f-o, por lo que (en principio) puede interpretarse de distintas maneras según el contexto.

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Si elegimos desarrollar la teoría de conjuntos en lenguaje f-o sin igualdad tenemos que ampliar el lenguaje "básico" con el nuevo lenguaje (binario) predicado símbolo $=$ definido por:

$(x=y) ↔ ∀z(z∈x ↔ z∈y)$ .