Demostrar que una deformación isométrica transforma las normales de la superficie en los puntos correspondientes.

Question

Básicamente estoy tratando de ver que si dada una deformación isométrica $\Phi$ entre dos superficies, es decir

\begin{equation} \Phi : \boldsymbol{x}(u,v) \to \boldsymbol{y}(u,v) \end{equation}

el vector normal $\boldsymbol{n}_x(u_0,v_0)$ se transforma en $\boldsymbol{n}_y(u_0,v_0) = \Phi(\boldsymbol{n}_x(u_0,v_0))$ . ¿Se puede demostrar? Me gustaría aclarar que una deformación isométrica es ligeramente más fuerte que un requisito de isometría, ya que implica una flexión continua como se explica en este enlace . Un ejemplo obvio es el plegado de una hoja de papel plana en un cilindro o la deformación entre un catenoide y un helicoide recto. Un no-ejemplo sería un helicoide circular derecho y un helicoide circular izquierdo que son localmente isométricos.

Answer 1

$\newcommand{\Eucl}{\mathbf{E}}\newcommand{\eps}{\varepsilon}$ La idea de un deformación isométrica continua puede precisarse como un camino en el espacio de las isometrías locales, pero también puede formularse en términos más concretos:

Sea $U$ sea un subconjunto abierto del plano y sea $\Phi_{0}:U \to \Eucl^{3}$ sea una parametrización regular de una superficie (posiblemente inmersa) $S_{0}$ en el espacio tridimensional euclidiano. Podemos definir un deformación isométrica de $S_{0}$ sea una cartografía suave $\Phi: U \times (-\eps, \eps) \to \Eucl^{3}$ (para algunos $\eps > 0$ ) tal que

• $\Phi(u, v, 0) = \Phi_{0}(u, v)$ para todos $(u, v)$ en $U$ ;
• Para cada $t$ en $(-\eps, \eps)$ la restricción $\Phi_{t} = \Phi(\cdot, \cdot, t):U \to \Eucl^{3}$ es una parametrización regular de una superficie $S_{t}$ ;
• Sea $g$ denota la métrica euclidiana. Para cada $t$ en $(-\eps, \eps)$ la métrica $\Phi_{t}^{*}g$ es igual a $\Phi_{0}^{*}g$ . (Esta condición puede expresarse en términos de productos punto de los parciales de $\Phi_{t}$ e implica que si $\Phi(u, v, 0) \mapsto \Phi(u, v, t)$ define una correspondencia $S_{0} \to S_{t}$ entonces este mapeo es una isometría local. Enunciamos las cosas de esta manera indirecta porque, por ejemplo, podríamos querer ver un helicoide como una deformación suave de un catenoide, véase también más adelante).

Para tal deformación, los campos normales unitarios "varían continuamente" porque pueden calcularse en términos de los parciales de $\Phi_{t}$ .

Por cierto, como se señala en los comentarios, los helicoides de quiralidad opuesta en realidad son deformables entre sí (ya sea localmente o globalmente mediante inmersiones), por ejemplo, mediante $$ \Phi(u, v, t) = \cos t (\cosh v \sin u, -\cosh v\cos u, -v) - \sin t(\sinh v\cos u, \sinh v\sin u, u). $$ (En $t = \pi/2$ el helicoide es diestro; en $t = -\pi/2$ es zurdo).