$B^n/S^{n-1}$ es homeomorfo a $S^n$

Question

Sea $B^n$ sea un disco (bola) n-dimensional con frontera $S^{n-1}$ . Demostrar que $B^n/S^{n-1}$ es homeomorfo a $S^n$ .

¿Podría alguien comprobar mis pruebas, por favor?

Pongamos la pelota $B^n=\{x\in\mathbb R^n\mid |x|\leq 1\}$ en $\mathbb R^{n+1}$ utilizando $x\mapsto (x,0)$ . Entonces podemos utilizar el homeomorfismo $(x,0)\mapsto (x,\sqrt{1-|x|})$ . Caemos en la mitad de la esfera $S^n$ . El límite de la bola después de esto se convertirá sólo en puntos de la forma $(*,0)$ . Si se tira hasta el punto entonces vamos a conseguir la suspensión $S^{n-1}$ o $S^n$ .

Answer 1

Esta pregunta ha sido respondida por @SteveD en los comentarios, como se reproduce a continuación.

---

Me parece bien, pero también se puede definir el mapa explícitamente. A saber, una función $f: \Bbb{B}^n \to \Bbb{S}^n$ dado por: $$ f(b) = \left(2b\sqrt{1-|b|^2},2|b|^2 - 1\right) $$ Esto traza el límite de $\Bbb{B}^n$ al polo norte de $\Bbb{S}^n$ . No es difícil demostrar que esto es suryectivo, e inyectivo en el interior de $\Bbb{B}^n$ así que es el cociente lo que quieres.

Answer 2

$B^n/{S^{n-1}}$ es un espacio compacto de Hausdorff $X$ con un punto $p$ (la clase del $S^{n-1}$ ) tal que $X\setminus \{p\}$ es homeomorfo a $B^n \setminus S^{n-1}$ que es el abierto $n$ -bola $U_n$ que es homeomorfo a $\mathbb{R^n}$ (vía $f: \mathbb{R}^n \to U_n; f(x)=\frac{1}{1+\|x\|}\cdot x$ por ejemplo).

Por otra parte $S^n$ es también un espacio compacto de Hausdorff $Y$ tal que $Y\setminus \{q\}$ (donde podemos tomar $q$ el polo norte, o cualquier punto, por homogeneidad) es homeomorfo a $\mathbb{R}^n$ también, por proyección estereográfica .

Así pues, ambos espacios son instancias concretas del Ampliación Alexandroff (también conocida como la compactificación de un punto) de $\mathbb{R}^n$ y, por tanto, homeomorfas entre sí por la unicidad de esta extensión hasta el homeomorfismo (con espacios Hausdorff compactos).