Números iguales a la media aritmética de sus permutaciones

Question

En $n$ -número de dígitos $\alpha$ se dice especial si $\alpha$ es igual a la media aritmética de todas las permutaciones que se obtienen reordenando los dígitos de $\alpha$ de todas las formas posibles, y los dígitos de $\alpha$ no son todos iguales. Demuestra que cualquier número especial $\alpha$ debe tener exactamente $3k$ dígitos, donde $k$ es un número entero positivo.

Tenga en cuenta que se trata de https://oeis.org/A161020/internal .

Pensé que una prueba por contradicción podría funcionar.

Supongamos, en aras de la contradicción, que un número especial $\alpha = \overline{a_{3k+1} \ldots a_{1}}$ existía con la propiedad requerida con exactamente $3k+1$ donde los dígitos son distintos. Entonces la media aritmética de las permutaciones del número es $$\dfrac{\underbrace{(3k)!(3k)!\ldots(3k)!}_{3k+1}(a_{3k+1}+\cdots+a_1)}{(3k+1)!}=10^{3k}a_{3k+1}+10^{3k-1}a_{3k}+\cdots+a_1$$

No sabía qué hacer a continuación.

Answer 1

En $2$ en esto están equivocados:

$$\dfrac{\underbrace{22\ldots2}_{3k+1}(a_{3k+1}+\cdots+a_1)}{(3k+1)!} = 10^{3k}a_{3k+1}+\cdots+a_1$$

y no es una identidad.

Debería serlo:

¿Para qué? $a_{3k+1}a_{3k}\dots a_2a_1$ se cumple esta ecuación:

$$\dfrac{\underbrace{(3k)!(3k)!\ldots(3k)!}_{3k+1}(a_{3k+1}+\cdots+a_1)}{(3k+1)!}=10^{3k}a_{3k+1}+10^{3k-1}a_{3k}+\cdots+a_1$$

tratándose adecuadamente el número que queda por debajo del tope.

En $(3k)!$ puede verse con un ejemplo, considerando digamos el caso $k=1$ y $1234$ . Coloca cada permutación una encima de otra, entonces cada columna suma $10^c\times6\times(1+2+3+4)$ con $c$ que representa el número de columna empezando por la derecha con $c=0$ y terminando por la izquierda con $c=3$ .

El número final para el caso $k=1$ y número general $abcd$ es $6666(a+b+c+d)$ .

Con mayores $k$ consideramos $\sum\limits_{i=0}^{3k}10^i(3k)!=(3k)!\sum\limits_{i=0}^{3k}10^i$ .

Y esto significa que en el caso completamente general:

$$\dfrac{\underbrace{(k!)(k!)\ldots(k!)}_{k+1}}{(k+1)!}$$

se convierte:

$$\dfrac{\sum\limits_{i=0}^k 10^i}{k+1}$$

Así que el siguiente paso es determinar cuándo:

$$\dfrac{\sum\limits_{i=0}^{3k} 10^i}{3k+1}(a_{3k+1}+a_{3k}+\dots+a_1)=10^{3k}a_{3k+1}+10^{3k-1}a_{3k}+\cdots+a_1$$

En el caso general, para $a_{k+1}a_k\dots a_1$ la ecuación es:

$$\dfrac{\sum\limits_{i=0}^k 10^i}{k+1}(a_{k+1}+a_k+\dots+a_1)=10^k a_{k+1}+10^{k-1}a_k+\cdots+a_1$$