Silly Limit con Exponetiation

Question

He encontrado, usando exponetiation y l'hopital, que:

$\lim \limits_{x\to 0} x^{\sqrt x} = \infty$

Sin embargo, el límite es 1 utilizando matlab. ¿Cómo puedo encontrar dicho límite?

Gracias

Answer 1

Reescribir como $(\sqrt{x}^{\sqrt{x}})(\sqrt{x}^{\sqrt{x}})$ y citar el resultado presumiblemente familiar de que $\lim_{y\to 0^+}y^y=1$ . Así que la respuesta es $(1)(1)$ .

Tenga en cuenta que la pregunta debería ser $\displaystyle\lim_{x\to 0^+} x^{\sqrt{x}}$ .

Answer 2

Puede hacer la sustitución $\sqrt{x}=t$ y calcula $$ \lim_{t\to0^+}(t^2)^t=\lim_{t\to0^+}t^{2t}= \lim_{t\to0^+}\exp(2t\log t) $$ Desde $\lim_{t\to0^+}t\log t=0$ (es un ejercicio estándar), se puede concluir que su límite es $\exp(0)=1$ .