Ecuación diferencial no lineal

Question

Sea $ x \in \mathbb{R} $

Encuentra todas las soluciones de la siguiente ecuación diferencial : $$ y'=\tan(y+x) $$

Answer 1

Sea $u = y + x$ . Entonces $u' = y' + 1$ por lo que la EDO puede escribirse $$u' = 1 + \tan(u),$$ que es una ecuación separable. Tenemos $$\int \frac{du}{1 + \tan u} = \int dx,$$ que se reduce a $$\frac{1}{2}(u + \log|\sin u + \cos u|) = x + C.$$ Para verlo, veamos $$I = \int \frac{du}{1 + \tan u}.$$ Entonces $$I = \int \left(1 - \frac{\tan u}{1 + \tan u}\right)\, du = u - \int \frac{\tan u}{1 + \tan u},$$ y

\begin{align}-\int \frac{\tan u}{1 + \tan u}\, du &= \int -\frac{\sin u}{\cos u + \sin u}\, du = \int \frac{-\sin u + \cos u}{\cos u + \sin u}\, du - \int \frac{\cos u}{\sin u + \cos u}\, du\\ &= \log|\cos u + \sin u| - \int \frac{1}{1 + \tan u}\, du\\ &= \log|\cos u + \sin u| - I.\end{align}

Por lo tanto

$$I = \frac{1}{2}(u + \log|\sin u + \cos u|) + C.$$

Ciertamente $\int dx = x + C$ por lo que tenemos $\frac{1}{2}(u + \log|\cos u + \sin u|) = x + C$ . Ahora vuelve a $y$ .