¿Una serie convergente es dividida por $n$ ?

Question

Para $a_n \ge 0$ si la serie converge $$\sum_{n=1}^\infty a_n^2 \lt \infty $$ entonces $$\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n} \lt \infty $$ ¿también divergirán?

Answer 1

Sólo hay que ver esto desde $a_n>0$ por la desigualdad de Schwartz tenemos

$$\sum_n \frac{a_n}{n} \leq \sqrt{\sum_n a^2_n} \sqrt{ \sum_n \frac{1}{n^2}}< \infty. $$

Obsérvese que la convergencia de $\sum_n a_n $ implica la convergencia de $\sum_n a^2_n $ .

Answer 2

Sea $S=\{n\in N: a_n^2<a_n/n\}$ y $T=N\backslash S.$

Tenemos $n\in S\implies a_n<1/n \implies a_n/n<1/n^2.$

Tenemos $n\in T\implies a_n/n\leq a_n^2.$

Así que $\quad \sum_{n=1}^{n=M}a_n/n\leq \sum_{(M\geq n\in S)}1/n^2\; +\; \sum_{(M\geq n\in T)}a_n^2.\quad$ Que está acotado anteriormente como $M\to \infty.$

(Con la convención habitual de que la suma sobre un conjunto vacío es $0.$ )