¿Campos "kummerianos"?

Question

Esta es una pregunta al azar, pero aquí va:

Definimos [con perdón de Conan el Bárbaro] un campo K como $\textbf{Kummerian}$ si existe un conjunto de índices I, y funciones $x: I \rightarrow K, n: I \rightarrow \mathbb{Z}^+$ tal que el cierre algebraico de K es igual a $K[(x(i)^{\frac{1}{n(i)}})_{i \in I}]$ . Más claramente, el cierre algebraico se obtiene adhiriendo raíces de elementos del campo base, no de forma iterativa, sino de una sola vez.

Preguntas:

P) ¿Existe una clasificación de los campos kummerianos?

PII) ¿Qué hay de una clasificación de los "grupos (topológicos) kummerianos", es decir, los grupos de Galois absolutos de los campos kummerianos?

He aquí algunas observaciones sencillas:

1) Un campo algebraicamente cerrado o real cerrado es kummeriano. En particular, los grupos de orden 1 y 2 son grupos de Galois de campos kummerianos. Según Artin-Schreier, éstos son los únicos grupos de Galois absolutos finitos, kummerianos o no.

2) Un campo finito es kummeriano: el cierre algebraico se obtiene adhiriendo raíces de la unidad. Así, $\hat{\mathbb{Z}}$ es un grupo kummeriano.

3) Una extensión algebraica de un campo kummeriano es kummeriana. Por lo tanto, la clase de grupos kummerianos es cerrada bajo el paso a subgrupo cerrado. Combinando con 2), esto demuestra que cualquier grupo procíclico sin torsión es kummeriano. Por otro lado, la clase de los grupos kummerianos no es ciertamente cerrada bajo el paso al cociente, ya que $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ no es un grupo kummeriano.

4) Un grupo kummeriano es metabélico: es decir, es una extensión de un grupo abeliano por otro. Esto se deduce de la teoría de Kummer, utilizando la torre $\overline{K} \supset K^{\operatorname{cyc}} \supset K$ , donde $K^{\operatorname{cyc}}$ es la extensión obtenida al unir todas las raíces de la unidad.

En particular, ningún campo local o global (excepto $\mathbb{R}$ y $\mathbb{C}$ ) es kummeriano.

5) El campo $\mathbb{R}((t))$ es kummeriano. Su grupo de Galois absoluto es la terminación profinita del grupo diédrico infinito $\langle x,y \ | \ x^2 = 1, \ xyx^{-1} = y^{-1} \rangle$ . En particular, un grupo kummeriano no necesita ser abeliano.

¿Puede alguien dar un ejemplo más interesante?

ADDENDUM: En particular, sería interesante ver un grupo kummeriano que no tenga un subgrupo abeliano de índice finito o saber que no existe tal.

Answer 1

He aquí otra construcción fácil: dejemos que $K_n = \mathbb{C}((t_1))\ldots((t_n))$ , un $n$ campo de series iteradas de Laurent sobre los números complejos. Entonces el grupo de Galois absoluto de $K_n$ es $\hat{\mathbb{Z}}^n$ que se obtiene uniendo todas las raíces de la $t_i$ 's. Así, $\hat{\mathbb{Z}}^n$ es un grupo kummeriano. Combinado con el punto 3) anterior, creo que esto demuestra que cualquier grupo abeliano profino sin torsión topológicamente generado finitamente es kummeriano.

ADDENDUM: Ahora creo que un grupo abeliano infinito es kummeriano si es libre de torsión. Voy a consultarlo con la almohada a ver si alguien puede decir algo más...

Answer 2

Recordemos que un campo $K$ es pseudofinito si (1) $K$ es perfecto (2) el grupo de Galois absoluto de $K$ es $\hat{\mathbb{Z}}$ y (3) toda variedad no vacía absolutamente irreducible definida sobre $K$ tiene un $K$ -punto racional. Ax demostró que los campos finitos grandes tienen la misma teoría elemental que un campo pseudofinito.

Supongo que la afirmación: la extensión única del grado $n$ es generada por una raíz de un elemento del campo es elemental, por lo tanto desde que los campos finitos son kummerianos, también lo son los pseudo campos finitos.

Si lo he entendido bien hasta ahora, esto da una gran cantidad de ejemplos que utilizan el teorema de Jarden (ninguno de ellos explícito): Elegir un automorfismo de Galois $\sigma$ en el grupo de Galois absoluto de $\mathbb{Q}$ . Entonces, con probabilidad uno, el campo fijo de $\sigma$ en el cierre algebraico es pseudo finito. (Recordemos que los grupos de Galois son profinitos, por tanto compactos, y por tanto dotados de medida de probabilidad de Haar).

El teorema de Jarden se cumple con mayor generalidad, es decir, cuando sustituimos $\mathbb{Q}$ con cualquier campo hilbertiano contable (para algunos ejemplos, véase aquí ).

De todos modos, supongo que no responde a ninguna de tus preguntas, en particular, no da ningún nuevo grupo de Galois absoluto. Pero pensé que algunos ejemplos más podrían ser interesantes...