Tomar el límite de una integral

Question

Lo he hecho: $$\lim_{x\uparrow a} \int ^{g(x)}_{h(x)}f(x,y)dy $$

$f(x,y)$ , $g(x)$ , $h(x)$ son todos continuos desde abajo en $x$ en $a$ y $f(x,y)$ es continua en $y$ .

¿Hay alguna forma de solucionarlo? ¿Hay algún movimiento disponible como:

$$\lim_{x\uparrow a} \int ^{g(x)}_{h(x)}f(x,y)dy = \int^{\lim_{x\uparrow a}g(x)}_{\lim_{x\uparrow a}h(x)}\lim_{x\uparrow a}f(x,y)dy $$

Eso estaría bien. Gracias de antemano por la ayuda.

EDIT: O, si tal movimiento no es en general posible/este límite no es generalmente solucionable, ¿hay restricciones que podría poner en las funciones que lo hacen así?

Answer 1

$\lim_{x\uparrow a} \int ^{g(x)}_{h(x)}f(x,y)\,dy=\lim_{x\uparrow a}F\big(x,g(x)\big)-F\big(x,h(x)\big)=F\big(a,g(a)\big)-F\big(a,h(a)\big)$$ =\int ^{g(a)}_{h(a)}f(a,y)\i,dy.$

Dónde $F(x,y)=\int ^{g(x)}_{h(x)}f(x,y)\,dy.$