¿Por qué no utilizar simplemente pesos senoidales con nodos Clenshaw-Curtis?

Question

La cuadratura Clenshaw-Curtis es $$ \int_{-1}^{1} f(x)dx=\int_{0}^{\pi}f(\cos y)\sin y dy $$ y luego sustituir $f(\cos y)$ por una serie de Fourier truncada, de modo que la integral puede escribirse como suma sobre estos coeficientes de Fourier.

¿Por qué es necesario calcular esa serie de Fourier? ¿Por qué no se puede simplemente aplicar la regla trapezoidal a $f(\cos y)\sin y$ ? Según tengo entendido, esto debería dar lugar a una regla de cuadratura con las mismas tasas de convergencia (debido a Euler-McLaurin) y los mismos nodos de cuadratura, pero con pesos de cuadratura más sencillos (numérica y conceptualmente) que Clenshaw-Curtis. ¿Se me escapa algo?

Answer 1

Clenshaw-Curtis es interpolatorio pero la regla trapezoidal para la función transformada no lo es. Así, para $f(x)=1$ Clenshaw-Curtis siempre escupirá $$\int_{-1}^1f(x)dx\approx2$$ Pero la regla trapezoidal aplicada a la función transformada dará como resultado $$\begin{align}\int_{-1}^1f(x)dx&=\int_0^{\pi}1\cdot\sin\theta d\theta\\ &\approx\frac{\pi}{2N}\left[\sin(0)+2\sum_{k=1}^{N-1}\sin\frac{k\pi}N+\sin(\pi)\right]\\ &=\frac{\pi}N\sum_{k=1}^{N-1}\frac{-1}{2\sin\frac{\pi}{2N}}\left(\cos\frac{\left(k+\frac12\right)\pi}N-\cos\frac{\left(k-\frac12\right)\pi}N\right)\\ &=\frac{-\pi}{2N\sin\frac{\pi}{2N}}\left(\cos\frac{\left(N-\frac12\right)\pi}N-\cos\frac{\pi}{2N}\right)\\ &=\frac{\pi}N\cot\frac{\pi}{2N}\approx2\left(1-\frac{\pi^2}{12N^2}\right)\end{align}$$ Para un gran número de subintervalos $N$ . Por lo tanto, se considera que Clenshaw-Curtis utiliza los valores funcionales en los mismos puntos que el método propuesto de forma más eficiente.