Función de máximo y mínimo en un círculo

Question

Encontrar el valor mínimo y máximo de la función $f(x,y) = 3x+4y + |x-y|$ en círculo $$\left\{ (x,y): x^2+y^2 = 1 \right\}$$

He utilizado el sistema de coordenadas polares. Así que tengo $x = \cos t$ y $y=\sin t$ donde $ t \in [0, 2 \pi)$ .

Entonces exploté la definición de función absoluta y obtuve:

$$h(t) = \begin{cases} 4 \cos t + 3 \sin t \quad t \in [0, \frac{\pi}{4}] \cup [\frac{5}{4} \pi,2 \pi) \\ 2 \cos t + 5 \sin t \quad t \in (\frac{\pi}{4}, \frac{5}{4} \pi) \end{cases}$$

Por lo tanto recibí los siguientes puntos críticos (antes calculé la primera derivada):

$$\cos t = \pm \frac{4}{5} \vee \cos t = \pm \frac{2}{ \sqrt{29} }$$

Entonces calculé la segunda derivada y después de todo recibí que en $( \frac{2}{ \sqrt{29} } , \frac{5}{ \sqrt{29} }) $ es máximo igual a $\sqrt{29}$ y en $(- \frac{4}{ 5 } ,- \frac{3}{5} )$ es como mínimo igual a $- \frac{23}{5}$ .

He examinado mi resolución en wolfram alpha:

Como puedes ver, estas resoluciones son muy diferentes a las mías. Incluso los puntos críticos son otros. ¿Podría decirme dónde tengo error?

Answer 1

Tu tratamiento de la función dada como "a trozos" es adecuado, pero creo que tu parametrización no es del todo correcta. Dado que la "división" en el término de valor absoluto se produce en $ \ x - y \ \ge \ 0 \ $ frente a $ \ x - y \ < \ 0 \ $ existe una única "línea divisoria" entre las "ramas" de la función en $ \ y \ = \ x \ $ . Así que la forma parametrizada de la función debería ser simplemente

$$ f(t) = \begin{cases} 4 \cos t \ + \ 3 \sin t \ \ , \quad -\frac{3\pi}{4} \ \le \ t \ < \ \frac{\pi}{4} \\ 2 \cos t \ + \ 5 \sin t \ \ , \quad \frac{\pi}{4} \ \le \ t \ < \ \frac{5 \pi}{4} \end{cases} \ \ . $$

[Se pueden utilizar otras opciones para los "nombres de los ángulos": se han elegido estos intervalos para simplificar los cálculos a continuación].

En una forma cartesiana más convencional, podemos escribir la función como

$$ f(x, \ y) = \begin{cases} 3x \ + \ 4y \ + \ (x - y) \ = \ 4x \ + \ 3y \ \ , \quad y \ \le \ x \\ 3x \ + \ 4y \ - \ (x - y) \ = \ 2x \ + \ 5y \ \ , \quad y \ \ge \ x \end{cases} \ \ . $$

Abordaremos el problema de la extremización de dos maneras.

$$ \ \ $$

En el primero, podemos buscar puntos críticos resolviendo $ \ \frac{df}{dt} \ = \ 0 \ $ en las dos mitades del círculo como has hecho tú. Otro método sería escribir las funciones lineales en seno y coseno como una única función seno (o coseno). Tenemos (despreciando un factor constante para cada una)

$$ \frac{4}{\sqrt{4^2 + 3^2}} \cos t \ + \ \frac{3}{\sqrt{4^2 + 3^2}} \sin t $$ $$ \rightarrow \ \sin \ \alpha \ \cos t \ + \ \cos \ \alpha \ \sin t \ = \ \sin (t + \alpha) \ \ , \ \ \alpha \ = \ \arctan \left( \frac{4}{3} \right) \ \approx \ 0.9273 $$

y

$$ \frac{2}{\sqrt{2^2 + 5^2}} \cos t \ + \ \frac{5}{\sqrt{2^2 + 5^2}} \sin t $$ $$ \rightarrow \ \sin \ \beta \ \cos t \ + \ \cos \ \beta \ \sin t \ = \ \sin (t + \beta) \ \ , \ \ \beta \ = \ \arctan \left( \frac{2}{5} \right) \ \approx \ 0.3805 \ \ . $$

Los valores máximo y mínimo de estas funciones seno se dan para

$$ \sin (t + \alpha) \ = \ \pm 1 \ \ \Rightarrow \ \ \begin{cases} t \ + \ \alpha \ = \ \frac{\pi}{2} \ \ \Rightarrow \ \ t \ \approx \ 0.6435 \\ t \ + \ \alpha \ = \ \frac{3 \pi}{2} \ \ \Rightarrow \ \ t \ \approx \ 3.7851 \end{cases} \ \ \text{and} $$

$$ \sin (t + \beta) \ = \ \pm 1 \ \ \Rightarrow \ \ \begin{cases} t \ + \ \beta \ = \ \frac{\pi}{2} \ \ \Rightarrow \ \ t \ \approx \ 1.1903 \\ t \ + \ \beta \ = \ \frac{3 \pi}{2} \ \ \Rightarrow \ \ t \ \approx \ 4.3319 \end{cases} \ \ . $$

Para nuestra elección de parametrización aquí, los dominios de las "ramas" de $ \ f(t) \ $ sólo permiten las soluciones de "valor máximo" para ambos funciones lineales [indicadas en el gráfico anterior por los asteriscos azul y morado, respectivamente]. Las soluciones de "valor mínimo", que se encuentran en los lugares diametralmente opuestos marcados con estrellas de seis puntas, no están en los dominios apropiados. Al comparar los valores máximos de la función en las dos ramas, encontramos

$$ f(0.6435) \ = \ 4 \ \cos \ 0.6435 \ + \ 3 \ \sin \ 0.6435 \ = \ 5 \ \ \text{[exact]} \ \ , $$

$$ f(1.1903) \ = \ 2 \ \cos \ 1.1903 \ + \ 5 \ \sin \ 1.1903 \ \approx \ 5.385 \ \ . $$

También debemos examinar los "puntos límite" entre las dos ramas, $ \ t \ = \ \frac{\pi}{4} \ $ [estrella verde] y $ \ t \ = \ \frac{5 \pi}{4} \ $ [asterisco verde] . La función resulta ser continua a través de estos puntos (si permitimos que el parámetro $ \ t \ $ para seguir trazando el círculo indefinidamente). Obtenemos

$$ f\left( \frac{\pi}{4} \right) \ = \ 4 \ \cos \frac{\pi}{4} \ + \ 3 \ \sin \frac{\pi}{4} \ = \ 2 \ \cos \frac{\pi}{4} \ + \ 5 \ \sin \frac{\pi}{4} \ = \ \frac{7 \ \sqrt{2}}{2} \ \approx \ 4.949 \ \ , $$

$$ f\left( \frac{5 \pi}{4} \right) \ = \ 4 \ \cos \frac{5 \pi}{4} \ + \ 3 \ \sin \frac{5 \pi}{4} \ = \ 2 \ \cos \frac{5 \pi}{4} \ + \ 5 \ \sin \frac{5 \pi}{4} \ = \ -\frac{7 \ \sqrt{2}}{2} \ \approx \ -4.949 \ \ . $$

Hemos determinado entonces que el valor máximo de $ \ f(x, \ y) \ $ se trata de $ \ 5.385 \ $ y el valor mínimo es $ \ - \frac{7 \ \sqrt{2}}{2} \ $ . (Hay algo "raro" en el resultado publicado en WolframAlpha: por ejemplo, las coordenadas del punto del mínimo no están exactamente en el círculo unitario, por lo que el valor de la función también está ligeramente equivocado). Tampoco confirmaremos el valor máximo mostrado).

$$ \ \ $$

Podemos confirmar estos resultados mediante otro enfoque, que consiste en utilizar multiplicadores de Lagrange. La función de restricción es $ \ g(x, \ y) \ = \ x^2 \ + y^2 \ - \ 1 \ $ .

En la parte "inferior" ( $ \ y \ \le \ x \ $ ) semicírculo, tenemos $ \ f(x, \ y) \ = \ 4x \ + \ 3y \ $ lo que nos da las ecuaciones de Lagrange

$$ \ \nabla f \ = \ \lambda \nabla g \ \ \Rightarrow \ \ 4 \ = \ \lambda \cdot 2x \ \ , \ \ 3 \ = \ \lambda \cdot 2y \ \ \Rightarrow \ \ \lambda \ = \ \frac{4}{2x} \ = \ \frac{3}{2y} $$

$$ \Rightarrow \ \ y \ = \ \frac{3}{4} x \ \ \Rightarrow \ \ x^2 \ + \ \left( \frac{3}{4} x \right)^2 \ = \ 1 \ \ \Rightarrow \ \ (x, \ y) \ = \ ( \ \pm \frac{4}{5}, \ \pm \frac{3}{5} \ ) \ . $$

El dominio sólo nos da el punto único $ \ ( \ \frac{4}{5}, \ \frac{3}{5} \ ) \ $ para el que el valor de la función es $ \ f \left(\frac{4}{5}, \ \frac{3}{5} \right) \ = \ 4 \cdot \frac{4}{5} \ + \ 3 \cdot \frac{3}{5} \ = \ \frac{25}{5} \ = \ 5 \ $ . Este es el punto tangente [el asterisco azul] de la línea [azul] descrita por $ \ f(x, \ y) \ $ en esta porción de su dominio, con el círculo de restricción.

[ Nota al margen Si esta única función fuera aplicable sobre el completo círculo, el valor mínimo de $ \ 4x \ + \ 3y \ $ vendría dada por la recta tangente $ \ 4x \ + \ 3y \ = \ -5 \ $ [la línea azul claro] , que se une al círculo en el punto diametralmente opuesto $ \ ( \ -\frac{4}{5}, \ -\frac{3}{5} \ ) \ $ [la estrella azul claro] . ]

Para el "superior" ( $ \ y \ \ge \ x \ $ ) semicírculo, la función es $ \ f(x, \ y) \ = \ 2x \ + \ 5y \ $ haciendo que las ecuaciones de Lagrange

$$ \ \ 2 \ = \ \lambda \cdot 2x \ \ , \ \ 5 \ = \ \lambda \cdot 2y \ \ \Rightarrow \ \ \lambda \ = \ \frac{2}{2x} \ = \ \frac{5}{2y} \ \ \Rightarrow \ \ y \ = \ \frac{5}{2} x $$ $$ \Rightarrow \ \ x^2 \ + \ \left( \frac{5}{2} x \right)^2 \ = \ 1 \ \ \Rightarrow \ \ (x, \ y) \ = \ ( \ \pm \frac{2}{\sqrt{29}}, \ \pm \frac{5}{\sqrt{29}} \ ) \ . $$

De nuevo, el dominio sólo permite $ \ ( \ \frac{2}{\sqrt{29}}, \ \frac{5}{\sqrt{29}} \ ) \ $ donde el valor de la función es $ \ f \left(\frac{2}{\sqrt{29}}, \ \frac{5}{\sqrt{29}} \right) \ = \ 2 \cdot \frac{2}{\sqrt{29}} \ + \ 5 \cdot \frac{5}{\sqrt{29}} \ = \ \frac{29}{\sqrt{29}} \ = \ \sqrt{29} \ \approx \ 5.385 \ $ . Este es el punto tangente [asterisco morado] de la línea [morada]. (La línea y la estrella de color púrpura claro que se muestra donde el mínimo de $ \ 2x \ + \ 5y \ $ estaría en el círculo completo).

El método del multiplicador de Lagrange no nos dará ninguna información sobre los puntos de encuentro de las "mitades" del círculo, ya que las curvas de nivel de $ \ f (x, \ y) \ $ no son tangentes allí. Al inspeccionar $ \ f ( \ \pm \frac{\sqrt{2}}{2}, \ \pm \frac{\sqrt{2}}{2}) \ $ obtenemos el valor mínimo de la función en el círculo unitario como

$$ \ f ( \ - \frac{\sqrt{2}}{2}, \ - \frac{\sqrt{2}}{2} \ ) \ = \ -\frac{7 \ \sqrt{2}}{2} \ \ ; $$

el valor máximo es

$$ f \left(\frac{2}{\sqrt{29}}, \ \frac{5}{\sqrt{29}} \right) \ = \ \sqrt{29} \ \ . $$

Estos resultados también coinciden con los de usuario64494 gráfico.

Answer 2

Tenemos $\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=\frac{x-y}{\sqrt{(x-y)^2}}+3$ y $\frac{\partial{f}}{\partial{y}}=\frac{y-x}{\sqrt{(x-y)^2}}+4$ es decir, $\nabla f=(\frac{x-y}{\sqrt{(x-y)^2}}+3, \frac{y-x}{\sqrt{(x-y)^2}}+4)$ . Sea $\phi(x,y)=x^2+y^2$ $\Rightarrow$ $\nabla \phi= 2(x,y)$ . Ahora, utilizando los multiplicadores de Lagrange tenemos $\nabla f = \lambda \nabla \phi$ es decir, $(\frac{x-y}{\sqrt{(x-y)^2}}+3, \frac{y-x}{\sqrt{(x-y)^2}}+4) =2 \lambda(x,y)$ . Con algunos cálculos, creo que esto resuelve el problema.

Answer 3

De hecho, esto no es una respuesta, pero no encuentro otra forma de enviar las salidas del comando Maple $$plot(3*cos(t)+4*sin(t)+abs(cos(t)-sin(t)), t = 0 .. 2*Pi) $$

y sus comandos $$maximize(3*cos(t)+4*sin(t)+abs(cos(t)-sin(t)), t = 0 .. 2*Pi, location)$$ $$\sqrt{29}, \{[{t = \arctan(5/2)}, \sqrt{29}]\} $$ $$minimize(3*cos(t)+4*sin(t)+abs(cos(t)-sin(t)), t = 0 .. 2*Pi, location) $$ $$-(7/2)\sqrt{2}, \{[{t = (5/4)\pi}, -(7/2)\sqrt{2}]\}$$