Tenía este teorema en mi curso, que dice
Supongamos que $R$ es un anillo conmutativo con identidad, $M$ es una $R$ - y si $I_1\subset I_2\subset\dots\subset I_n$ y $J_1\subset J_2\subset\dots\subset J_m$ que son todos ideales propios tales que $M\cong (R/I_1)\bigoplus\dots\bigoplus(R/I_n)$ y $M\cong(R/J_1)\bigoplus\dots\bigoplus(R/J_m)$ . Entonces $n=m$ y $I_k=J_k$ .
Ahora la prueba comenzó con
Fijar $x\in R$ y consideremos el mapa $M\to M; z\mapsto xz$ . Esto hace que $xM$ un $R$ -módulo. Demostraremos que $$I_k=\{x\in R\mid xM \text{ is generated by fewer than $ k $ elements} \}.$$
Ahora entendí el resto de la prueba donde seguimos y probamos $I_k$ es el conjunto de la derecha, ya que $k=1,...,n$ . Sin embargo, no entiendo por qué el conjunto anterior es realmente un ideal?
¿O no es necesario comprobar si el conjunto de la derecha es un ideal, ya que si es igual a $I_k$ y $I_k$ es un ideal por suposición, entonces la comprobación se vuelve redundante?
