encontrar ejemplos de dos series de $\sum a_n$ $\sum b_n$ ambos de los cuales divergen, pero para los que $\sum \min(a_n, b_n)$ converge

Question

Encontrar ejemplos de dos series de $\sum a_n$ $\sum b_n$ ambos de los cuales divergen, pero para los que $\sum \min(a_n, b_n)$ converge. Para hacerlo más desafiante, producir ejemplos donde $a_n$ $b_n$ son positivos y en disminución.

Edit: Este problema es tomado textualmente de Ejercicio 2.7.11 en la página 68 de Abbott del Entendimiento de análisis.

Answer 1

Aquí está una sugerencia para la primera parte: usted puede hacer min$(a_n,b_n)=0$ todos los $n$ (no hay más convergente que eso), mientras que las dos series de $\sum a_n$ $\sum b_n$ están muy lejos de la convergencia. Una vez que se resuelva este, hágamelo saber y voy a dar una pista para la parte difícil. Se va a construir sobre las ideas de la primera.

Editar: Soluciones agradables a la primera parte! Ahora para la segunda: por supuesto, la idea tiene que ser la misma: las secuencias se tiene que de alguna manera alternativa, en la que uno es más baja en cualquier momento dado. Pero piensa en esto: si se alternan en cada paso, como antes, entonces vamos a tener que $\sum_n a_{2n}$ converge y también a $a_{2n+1} < a_{2n}$, por lo que tendremos que $\sum_n a_n < 2\sum_n a_{2n}$ convergerán. Eso no es bueno. Si usted piensa acerca de este tema por un tiempo, te das cuenta de que los intervalos en que una secuencia de inmersiones por debajo de los otros, uno debe conseguir más y más tiempo para los dos a divergir. Ahora, se puede hacer de su idea anterior trabajo?

Answer 2

Esta respuesta da un ejemplo específico utilizando las ideas propuestas en la respuesta anterior:

Deje $\sum a_n=\overline{\frac{1}{1^2}}+\frac{1}{2^2}+\overline{\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^2}}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}+\cdots+\frac{1}{14^2}+\overline{\frac{1}{15^2}+\frac{1}{15^2}+\cdots+\frac{1}{15^2}}+\cdots$

y $\sum b_n=\frac{1}{1^2}+\underline{\frac{1}{2^2}}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\underline{\frac{1}{6^2}+\frac{1}{6^2}+\cdots+\frac{1}{6^2}}+\frac{1}{15^2}+\frac{1}{16^2}+\cdots+\frac{1}{71^2}+\cdots$.

Observe que cada grupo de repetidos términos tiene una suma $S\ge\frac{1}{4}$,$\sum c_n=\sum\frac{1}{n^2}$.