$H$ Espacio de Hilbert, $T$ lineal simétrica acotada, cuando es $H=R(T) \oplus N(T)$ ?

Question

Acabo de ver en un ejercicio que si tengo un espacio prehilbert $H$ y $T$ un operador lineal, acotado y simétrico, entonces $R(T)=N(T)^{\perp}$ . Ahora me preguntaba si $H=R(T) \oplus N(T)$ . En wiki Vi que si $X$ está cerrado en $H$ entonces $H=X \oplus X^{\perp}$ . Así que la pregunta es $R(T)$ o $N(T)$ ¿cerrado en general? ¿Es $N(T)$ cerrado si es separable?

Answer 1

El núcleo de un operador lineal acotado es siempre cerrado (es la preimagen del conjunto cerrado $\{0\}$ bajo un mapa continuo). El intervalo puede ser cerrado o no. De hecho, el carácter cerrado de $R(T)$ es equivalente a $R(T)=N(T)^\perp$ que usted afirma erróneamente sostener en general.

Según mi experiencia, el criterio más útil para determinar la cerrazón de $R(T)$ viene en forma de una desigualdad abstracta de Poincaré: El rango de $T$ es cerrado si y sólo si existe $c>0$ tal que $$ \|Tx\|\geq c\|x\| $$ para todos $x\in N(T)^\perp$ .