¿Determina la categoría derivada de las láminas coherentes la teoría de hodge?

Question

Dadas dos variedades algebraicas lisas (propias o no), si las dos categorías derivadas de los complejos acotados de láminas coherentes sobre ellas son equivalentes (si es necesario suponemos que existe una equivalencia totalmente fiel entre las dos categorías) , ¿tienen los mismos números de hodge, o incluso la misma descomposición de hodge en las homologías de hochschild de las dos categorías?

Baranovsky en arXiv:math/0206256 discutió este problema y dio una respuesta afirmativa, pero creo que sólo demostró que las dos variedades tienen la misma impar y parte par de homologías, pero no los grados individuales de homologías, es decir, no sé por qué tienen los mismos números de betti de su argumento, y mucho menos los números de Hodge. La cuestión que me parece es que, podemos definir la homología de hochschild a partir de una categoría dg (por ejemplo, una ampliación dg de la categoría derivada), pero no podemos definir la descomposición de hodge de la homología de hochschild a partir sólo de la información de la categoría derivada.

Orlov en arXiv:math/0512620v1 discutió este problema como consecuencia de su teorema sobre los motivos y dio una condición suficiente que exige que el soporte de la correspondiente transformada de Fourier-Mukai sea igual a la dimensión de las variedades en cuestión. Creo que esta condición es demasiado fuerte y difícil de verificar.

Un problema relacionado es, ¿implica la conjetura de la simetría homológica del espejo la coincidencia de los números de Hodge de dos duales del espejo?

Answer 1

Para las variedades de dimensión 1, 2 y 3 se sabe que las variedades equivalentes derivadas tienen los mismos números de Hodge. Por lo que yo sé, esto está abierto (aunque se cree que es cierto) para las variedades de dimensión superior.

En el caso de las superficies, esto se deduce de la clasificación de Bridgeland y Maciocia en su artículo "Complex surfaces with equivalent derived categories", mientras que en el caso de los trespliegues, el resultado está contenido en este preimpresión de Popa y Schnell.

Answer 2

Esto no responde del todo, pero se puede demostrar para dg-categorías agradables que la secuencia espectral de Hodge-de Rham degenera en muchas situaciones. Véanse las notas de Kaledin, 0708.1574 . Se trata de un caso especial de la conjetura de degeneración de Kontsevich. Para más información sobre este tema, véase Katzarkov, Kontsevich y Pantev sobre estructuras nc-Hodge.

Answer 3

No conozco el estado de la técnica. En física si dos variedades lisas de Calabi-Yau, $X$ y $X^\vee$ de dimensión $n$ son espejo entre sí, entonces $h^{p,q}(X)=h^{n-p,q}(X^\vee)$ . En general no se alisarán pero la física sugiere que tomemos resoluciones crepantes $Y\to X$ y $Y^\vee\to X^\vee$ y por lo tanto deberíamos tener $h^{p,q}(Y)=h^{n-p,q}(Y^\vee)$ . Pero, si existe una resolución crepitante, no es necesariamente única. Esto motivó a Maxim Kontsevich a introducir la integración motivacional y demostrar que si $X_1$ y $X_2$ son dos resoluciones crepitantes de $X$ entonces $h^{p,q}(X_1)=h^{p,q}(X_2)$ .

En cuanto a que la descomposición de la cohomología de Hochschild es válida para las equivalencias derivadas, no es cierto. En un artículo de Oren Ben-Bassat, Jon Block y Tony Pantev, se demuestra que para un toroide $X$ y su dual $X^\vee$ la transfromación de Fourier-Mukai induce un isomorfismo $H^0(X,\wedge^2T_X)\simeq H^2(X^\vee,\mathcal{O}_{X^\vee})$ . En otras palabras, una deformación no conmutativa de $X$ va a una deformación gerby de $X^\vee$ .