Número de ceros en el plano de la izquierda

Question

Estoy probando una de las preguntas del examen de cualificación anterior.

¿Cuántos ceros tiene la función $z^8 + \exp(2016 \pi z)$ tienen en la región donde $\operatorname{Re}(z) < 0$ .

Sé que debería usar el principio de argumentación para resolverlo. Pero aún no sé cómo resolverlo.

Answer 1

Sea $f(z)$ sea su función. Si $\operatorname{Re}(z) < 0$ y $\lvert z \rvert \geq 1$ entonces $\lvert z^8 \rvert > \lvert \exp(2016 \pi z) \rvert$ y así $f(z) \neq 0$ .

Si $z \in (-\mathrm i, \mathrm i)$ entonces $\lvert z^8 \rvert < \lvert \exp(2016 \pi z) \rvert$ . Esto, junto con $f(\mathrm i)=f(-\mathrm i)=2$ muestra que tampoco hay ceros en el segmento $[-\mathrm i, \mathrm i]$ .

La imagen del intervalo $[-\mathrm i, \mathrm i]$ vientos alrededor del origen $2016$ veces (el $\exp$ parte es dominante allí). La imagen del semicírculo izquierdo de $\mathrm i$ volver a $-\mathrm i$ da cuatro vueltas alrededor del origen ( $z^8$ es dominante allí). Así que en total la imagen del contorno serpentea alrededor del origen $2020$ veces. Se trata, por tanto, del número de ceros de $f$ en el semiplano izquierdo.