El valor de expectativa de un observable en equilibrio térmico viene dado por
$$ \langle O\rangle =\text{Tr}(Oe^{-\beta H}) $$ Si los estados propios del Hamiltoniano son $|\psi_n\rangle$ podemos reescribirlo como $$ \langle O\rangle =\sum_n \langle\psi_n|O|\psi_n\rangle e^{-\beta E_n} $$
Ahora, supongamos que nuestro Hamiltoniano conserva las partículas. Esto es lo mismo que decir que el Hamiltoniano conmuta con el operador numérico $N:=\sum_k c_k^\dagger c_k$ . Puedes comprobar que esto es lo mismo que decir cada término en $H$ es el producto de un número igual de operadores de creación y aniquilación. Todos los sistemas electrónicos tienen esta forma.
En este caso, podemos diagonalizar simultáneamente ambos $H$ y $N$ . Así pues, sin pérdida de generalidad, suponemos que $N|\psi_n\rangle=N_n|\psi_n\rangle$ para todos los estados propios $|\psi_n\rangle$ de $H$ . Pero en ese caso, para cada $n$ tenemos
$$ \langle\psi_n|c_k^\dagger|\psi_n\rangle = \frac{1}{N_n}\langle\psi_n|c_k^\dagger N|\psi_n\rangle =\frac{1}{N_n}\langle\psi_n| (N-1) c_k^\dagger|\psi_n\rangle=\frac{N_n-1}{N_n}\langle\psi_n|c_k^\dagger|\psi_n\rangle $$ de lo que se deduce que $\langle\psi_n|c_k^\dagger|\psi_n\rangle=0$ para cada $n$ Por lo tanto $\langle c_k^\dagger\rangle=0$ .
(¿Y si $N_n=0$ ? Te dejo que lo compruebes por ti mismo).
¿Y si no se conserva el número de partículas? En general, no tendrás $\langle c^\dagger_k\rangle=0$ ¡! Sin embargo, en muchos sistemas sin conservación del número de partículas, aún se conserva el número de partículas paridad . Esto es cierto, por ejemplo, en las teorías eficaces de los superconductores, en las que aparecen términos como $c_k^\dagger c_{k'}^\dagger$ en su Hamiltoniano, pero sin términos como $c_k^\dagger c_{k'}^\dagger c_{k''}^\dagger$ .
En este caso, se puede demostrar que el operador de paridad $P=(-1)^N$ conmuta con $H$ por lo que sin pérdida de generalidad se puede suponer que los estados propios del Hamiltoniano satisfacen $P|\psi_n\rangle = P_n|\psi_n\rangle$ con $P_n=\pm 1$ . Ahora podemos hacer un truco similar al anterior:
$$ \langle\psi_n|c_k^\dagger|\psi_n\rangle=P_n\langle\psi_n|c_k^\dagger P|\psi_n\rangle=-P_n\langle\psi_n|Pc_k^\dagger|\psi_n\rangle=-\langle\psi_n|c_k^\dagger|\psi_n\rangle $$
Por lo tanto $\langle\psi_n|c_k^\dagger|\psi_n\rangle=0$ de ahí $\langle c_k^\dagger\rangle=0$ .
