Demuestra que un grupo de orden 351 no es simple sin los Teoremas de Sylow

Question

Estoy tratando de probar un grupo de orden $351$ no es sencillo. Sé que esto tiene muchas respuestas que implican Teoremas de Sylow, pero yo estaba tratando de hacer esto usando un método alternativo.

Mi idea es la siguiente: Que $G$ sea un grupo tal que $|G| = 351$ . Si puedo demostrar la existencia de un subgrupo $H$ de orden $117$ entonces, por el Teorema de Lagrange $[G: N] = 3$ . Desde $3$ es el primo más pequeño que sumerge el orden de $G$ esto demostraría que $H$ es normal en $G$ . Por supuesto, esto demuestra que $G$ no es sencillo.

El problema es que no sé si un subgrupo de orden $117$ existe necesariamente. Si existe, no sé cómo demostrarlo. ¿Son los Teoremas de Sylow la única manera de resolver este problema o funcionará mi método?

Answer 1

Hay catorce grupos de orden $351$ . No se tiene ningún subgrupo de orden $117$ . Tiene exactamente seis clases de conjugación de subgrupos, de órdenes $1$ , $3$ , $9$ , $13$ , $27$ y $351$ . Por lo tanto, no se puede hacer de esa manera, y los teoremas de Sylow serán necesarios, espero.

Answer 2

También se puede conseguir sólo con Cauchy, Lagrange y acciones de grupo:

Tomemos un subgrupo $H$ de orden $13$ y mira el conjunto $\{H^g\mid g\in G\}$ de sus conjugados. Como $G$ actúa sobre este conjunto (por conjugación), su orden divide a $|G|=351$ . Restringir esta acción a $H$ y observa las órbitas de $H$ . $H$ fijación de $H^g$ es equivalente a $H$ contenida en el normalizador de $H^g$ . Si $H\ne H^g$ para tal $H^g$ entonces $H\cdot H^g$ es un subgrupo de orden $13^2$ lo que lleva a una contradicción. Por lo tanto $H$ es el único punto fijo de la acción de $H$ en $\{H^g\mid g\in G\}$ y todas las demás órbitas de $H$ tener orden $|H|=13$ . En $H$ no es normal en $G$ existen otras órbitas y el conjunto $\{H^g\mid g\in G\}$ tiene orden $1\bmod 13$ . Como la orden divide 351 y es $>1$ obtenemos que $H$ tiene 27 conjugados. En particular, $H$ es auto-normalizante (es decir, su propio normalizador) y por lo tanto (como es abeliano) también auto-centralizante (es decir, su propio centralizador).

Tomemos ahora un subgrupo $T$ de $G$ de orden $3$ y mira el conjunto $\{T^g\mid g\in G\}$ de sus conjugados, en los que $G$ actúa por conjugación. Como $H$ es autocentralizador (y por tanto no conmuta con ningún elemento de orden $3$ ), esta acción se limita a $H$ es libre de punto fijo, por lo que hay al menos $13$ conjugados que se intersecan trivialmente (es decir, en $1$ ).

Como los conjugados de $H$ se cruzan en $1$ el conjunto $G\setminus\bigcup_{g\in G} (H^g\setminus 1)$ tiene orden $351-27\cdot 12 = 27$ y contiene $\bigcup_{g\in G} T^g$ Así que en el último párrafo $T$ tiene exactamente $13$ conjugados. Así que $G$ actúa sobre un conjunto de 13 elementos transitivamente, y el estabilizador $S$ de cualquier punto es, por tanto, un subgrupo de $G$ de orden $27$ . Por lo tanto $S = \bigcup_{g\in G} T^g$ y $S$ es normal en $G$ .