Puede una base para un espacio vectorial se compone de matrices en lugar de los vectores?

Question

Lo siento si es una pregunta tonta. Soy nuevo en la noción de bases y todos los ejemplos que he abordado antes han involucrado a los conjuntos de vectores que contienen los números reales. Esto me ha llevado a asumir que las bases, por definición, se componen de un número de $n$-tuplas.

Sin embargo, ahora que he estado pensando acerca de la base para todas las $n\times n$ matrices y sigo volviendo a la idea de que el más simple de base a ser $n^2$ matrices, cada una con una sola $1$ en una posición única.

Es esta una razón válida? O debo estar tratando de obtener vectores columna en su propio de alguna manera?

Answer 1

Elementos de una base de un espacio vectorial tienen que ser siempre los elementos del espacio vectorial en el primer lugar. Por lo tanto, si usted está buscando una base del espacio de todas las $n\times n$ matrices, entonces las matrices en realidad son sus vectores y la única opción para lo que una base de elemento puede ser. De hecho, las matrices que describen son una base válida para el espacio de todas las $n\times n$ matrices. Sin embargo, mirando las matrices de esta manera (como vectores del espacio vectorial de todas las $n\times n$ matrices), podría ayudar a darse cuenta de que son sólo las tuplas con $n^2$ muchas entradas, dispuestas como un cuadrado.

Answer 2

Sí, estás en lo correcto. Un espacio vectorial de las matrices de tamaño $n$ es en realidad, un espacio vectorial de dimensión $n^2$. De hecho, sólo para condimentar las cosas: El espacio vectorial de todos los

• diagonal,
• simétrica y
• triangular matrices de dimensión $n\times n$

en realidad es un subespacio del espacio de matrices de ese tamaño.

Como con todos los subespacios, usted puede tomar cualquier combinación lineal y estancia en el espacio. (También, nulo de la matriz es en todos los tres anteriores).

Trate de calcular la base de las anteriores 3 casos especiales: Para la diagonal de la matriz, la base es un conjunto de $n$ matrices tales que el $i^{th}$ base de la matriz de ha $1$ $(i,i)$ $0$ en todas las demás. Trate de averiguar la base de vectores/matrices para simétrica y matrices triangulares.