Hallar el número de soluciones de la ecuación $\sin^22x-\cos^28x=\frac{1}{2}\cos10x$

Question

Hallar el número de soluciones de la ecuación $\sin^22x-\cos^28x=\frac{1}{2}\cos10x$ situado en el intervalo $(0,\frac{\pi}{2})$

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Encontré el periodo de $\sin^22x-\cos^28x$ como $\pi$ y el período de $\frac{1}{2}\cos10x$ es $\frac{\pi}{5}$
No sé cómo seguir resolviéndolo.

Answer 1

$$\sin^2 2x-\cos^2 8x=\frac{1}{2} \cos10x$$

Utilizar la fórmula $$\sin^2\alpha=\frac{1-\cos 2 \alpha}{2}; \cos^2\alpha=\frac{1+\cos 2 \alpha}{2}$$

$$\frac{1-\cos 4x}{2}-\frac{1+\cos 16x}{2}=\frac{1}{2} \cos10x$$ $$-\cos 4x-\cos 16 x=\cos 10 x$$ $$2 \cos 10x \cos 6x - \cos 10x=0$$ $\cos 10x =0$ o $\cos 6x= \frac 12$

Answer 2

SUGERENCIA:

Utilizando Demostrar que $\cos (A + B)\cos (A - B) = {\cos ^2}A - {\sin ^2}B$ ,

$$\cos^28x-\sin^22x=\cos10x\cos6x$$

Así que.., $$\cos^28x-\sin^22x=-\dfrac{\cos10x}2$$

$$\implies\cos10x=-2(\cos^28x-\sin^22x)=-2\cos10x\cos6x$$ $$\iff\cos10x(2\cos6x+1)=0$$

Espero que puedas seguir adelante