¿Por qué el acontecimiento $\{X \leqslant t\}$ es igual al espacio muestral cuando $t \geqslant c$ y $X=c$ ?

Question

Esto es lo que está escrito en mis notas.

Las constantes son RV: para $X=c=const$ se tiene $\{X \leqslant t\} = \begin{cases} \emptyset, t<c \\ \Omega, t \geqslant c\end{cases}$

¿Por qué el acontecimiento $\{X \leqslant t\}$ es igual al espacio muestral cuando $t \geqslant c$ y $X=c$ ?

Answer 1

Es sencillo, cuando $X=c$ y $t\geq c$ :
$\{X\leq t\}=\{\omega\in \Omega| X(\omega)\leq t\}=^1=\{\omega\in \Omega| X(\omega)=c\leq t\}=^2=\Omega$
Explicaciones:
1. $X(\omega)=c$ para cualquier $\omega$ (esto es lo que se entiende por $X=c$ ).
2. Dado que $t\geq c$ entonces $X(\omega)=c\leq t$ para cualquier $\omega$

Answer 2

Sea $\newcommand{\F}{\mathscr{F}}(\Omega,\F)$ ser un espacio medible lo que significa que $\Omega$ es un conjunto y $\F$ es un campo sigma de subconjuntos de $\Omega$ . Una variable aleatoria $X$ es un medible función $X:\Omega\to\mathbb{R}$ lo que significa que debe darse el caso de que para cada conjunto de Borel $B$ en $\mathscr{B}$ donde $\mathscr{B}$ es el campo sigma de Borel habitual de $\mathbb{R}$ la imagen inversa $X^{-1}(B)=\{\omega\in\Omega:X(\omega)\in B\}$ pertenece a $\F$ . Es posible demostrar que para comprobar que algunos $X$ es una variable aleatoria no tenemos que comprobar la imagen inversa de cada conjunto de Borel. Basta con comprobar que los conjuntos de la forma $\{\omega\in\Omega:X(\omega)\leq t\}$ pertenecen a $\F$ para cada $t\in\mathbb{R}$ .

Probablemente en tus apuntes se diga que las funciones constantes son variables reales. Sea $X:\Omega\to\mathbb{R}$ se define por $X(\omega)=c_0$ . Tenemos que comprobar dos casos: si $t<c_0$ entonces $\{\omega\in\Omega:X(\omega)\leq t\}=\emptyset$ que pertenece a $\F$ por definición. Para $t\geq c_0$ , $\{\omega\in\Omega:X(\omega)\leq t\}=\Omega$ que también, por definición, pertenece a $\F$ (recuerde que $\emptyset$ y $\Omega$ debe pertenecer a cualquier campo sigma de subconjuntos de $\Omega$ ). Esto concluye la prueba de que las funciones constantes son variables aleatorias.

Obsérvese que no hemos introducido una medida de probabilidad sobre $(\Omega,\F)$ . La mensurabilidad es una propiedad que no hace referencia a medidas específicas sobre el espacio mensurable considerado.